此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

第九章：线性系统的状态空间分析与综合

Example 9.11

已知线性系统的状态转移矩阵为：
Φ(t)=[−2tet+e2t3tet+2et−2e2t−tet−et+e2t−2tet−2et+2e2t3tet+5et−4e2t−tet−2et+2e2t−2tet−4et+4e2t3tet+8et−8e2t−tet−3et+4e2t]\Phi(t)=\begin{bmatrix} -2t{\rm e}^t+{\rm e}^{2t} & 3t{\rm e}^{t}+2{\rm e}^t-2{\rm e}^{2t} & -t{\rm e}^{t}-{\rm e}^{t}+{\rm e}^{2t}\\ -2t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t} & 3t{\rm e}^{t}+5{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{2t} & -t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t}\\ -2t{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t} & 3t{\rm e}^{t}+8{\rm e}^{t}-8{\rm e}^{2t} & -t{\rm e}^{t}-3{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎡​−2tet+e2t−2tet−2et+2e2t−2tet−4et+4e2t​3tet+2et−2e2t3tet+5et−4e2t3tet+8et−8e2t​−tet−et+e2t−tet−2et+2e2t−tet−3et+4e2t​⎦⎤​
求Φ−1(t)\Phi^{-1}(t)Φ−1(t)及相应的状态矩阵AAA.

解：

根据状态转移矩阵的运算性质可得：
Φ−1(t)=Φ(−t)=[2te−t+e−2t−3te−t+2e−t−2e−2tte−t−e−t+e−2t2te−t−2e−t+2e−2t−3te−t+5e−t−4e−2tte−t−2e−t+2e−2t2te−t−4e−t+4e−2t−3te−t+8e−t−8e−2tte−t−3e−t+4e−2t]\Phi^{-1}(t)=\Phi(-t)=\begin{bmatrix} 2t{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{{-2t}} & -3t{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-t}-{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{-2t}\\ 2t{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t} & -3t{\rm e}^{-t}+5{\rm e}^{-t}-4{\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t}\\ 2t{\rm e}^{-t}-4{\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{-2t} & -3t{\rm e}^{-t}+8{\rm e}^{-t}-8{\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-t}-3{\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ−1(t)=Φ(−t)=⎣⎡​2te−t+e−2t2te−t−2e−t+2e−2t2te−t−4e−t+4e−2t​−3te−t+2e−t−2e−2t−3te−t+5e−t−4e−2t−3te−t+8e−t−8e−2t​te−t−e−t+e−2tte−t−2e−t+2e−2tte−t−3e−t+4e−2t​⎦⎤​
由于Φ˙(t)=AΦ(t)，Φ(0)=I\dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)，\Phi(0)=IΦ˙(t)=AΦ(t)，Φ(0)=I，所以：
A=Φ˙(t)∣t=0=[−2et−2tet+2e2t3et+3tet+2et−4e2t−et−tet−et+2e2t−2et−2tet−2et+4e2t3et+3tet+5et−8e2t−et−tet−2et+4e2t−2et−2tet−4et+8e2t3et+3tet+8et−16e2t−et−tet−3et+8e2t]∣t=0=[0100012−54]\begin{aligned} A&=\left.\dot{\Phi}(t)\right|_{t=0}\\\\ &=\left.\begin{bmatrix} -2{\rm e}^{t}-2t{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t} & 3{\rm e}^{t}+3t{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{2t} & -{\rm e}^{t}-t{\rm e}^{t}-{\rm e}^{t}+2{\rm e}^{2t}\\ -2{\rm e}^{t}-2t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t} & 3{\rm e}^{t}+3t{\rm e}^t+5{\rm e}^{t}-8{\rm e}^{2t} & -{\rm e}^{t}-t{\rm e}^{t}-2{\rm e}^{t}+4{\rm e}^{2t}\\ -2{\rm e}^{t}-2t{\rm e}^{t}-4{\rm e}^{t}+8{\rm e}^{2t} & 3{\rm e}^{t}+3t{\rm e}^{t}+8{\rm e}^{t}-16{\rm e}^{2t} & -{\rm e}^t-t{\rm e}^{t}-3{\rm e}^t+8{\rm e}^{2t} \end{bmatrix}\right|_{t=0}\\\\ &=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & -5 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} A​=Φ˙(t)∣∣∣​t=0​=⎣⎡​−2et−2tet+2e2t−2et−2tet−2et+4e2t−2et−2tet−4et+8e2t​3et+3tet+2et−4e2t3et+3tet+5et−8e2t3et+3tet+8et−16e2t​−et−tet−et+2e2t−et−tet−2et+4e2t−et−tet−3et+8e2t​⎦⎤​∣∣∣∣∣∣​t=0​=⎣⎡​002​10−5​014​⎦⎤​​

Example 9.12

已知系统的状态矩阵：

1. A=[−1000−2000−3]A=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-3\end{bmatrix}A=⎣⎡​−100​0−20​00−3​⎦⎤​；
2. A=[2−1−10−10021]A=\begin{bmatrix}2&-1&-1\\0&-1&0\\0&2&1\end{bmatrix}A=⎣⎡​200​−1−12​−101​⎦⎤​；
3. A=[−21000−21000−21000−2]A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&1&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​−2000​1−200​01−20​001−2​⎦⎥⎥⎤​；
4. A=[−21000−20000−21000−2]A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​−2000​1−200​00−20​001−2​⎦⎥⎥⎤​；

解：

1. A=[−1000−2000−3]A=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-3\end{bmatrix}A=⎣⎡​−100​0−20​00−3​⎦⎤​；

   由于AAA为对角阵，且具有互异元素，可得：
   Φ(t)=[e−t000e−2t000e−3t]\Phi(t)=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-t} & 0 & 0\\ 0 & {\rm e}^{-2t} & 0\\ 0 & 0 & {\rm e}^{-3t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎡​e−t00​0e−2t0​00e−3t​⎦⎤​

2. A=[2−1−10−10021]A=\begin{bmatrix}2&-1&-1\\0&-1&0\\0&2&1\end{bmatrix}A=⎣⎡​200​−1−12​−101​⎦⎤​；

   利用拉普拉斯反变换法求解，由于：
   (sI−A)−1=[s−2110s+100−2s−1]−1=1(s−1)(s−2)(s+1)[(s+1)(s−1)−(s+1)−(s+1)0(s−1)(s−2)002(s−2)(s+1)(s−2)]=[1s−21s−1−1s−21s−1−1s−201s+1001s−1−1s+11s−1]Φ(t)=L−1[(sI−A)−1]=[e2t−e2t+et−e2t+et0e−t00−e−t+etet]\begin{aligned} (sI-A)^{-1}&=\begin{bmatrix} s-2 & 1 & 1\\ 0 & s+1 & 0\\ 0 & -2 & s-1 \end{bmatrix}^{-1}\\\\ &=\frac{1}{(s-1)(s-2)(s+1)}\begin{bmatrix} (s+1)(s-1) & -(s+1) & -(s+1)\\ 0 & (s-1)(s-2) & 0\\ 0 & 2(s-2) & (s+1)(s-2) \end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{s-2} & \displaystyle\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2} & \displaystyle\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s-2}\\ 0 & \displaystyle\frac{1}{s+1} & 0\\ 0 & \displaystyle\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1} & \displaystyle\frac{1}{s-1} \end{bmatrix}\\\\ \Phi(t)&=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]=\begin{bmatrix} {\rm e}^{2t} & -{\rm e}^{2t}+{\rm e}^{t} & -{\rm e}^{2t}+{\rm e}^t\\ 0 & {\rm e}^{-t} & 0\\ 0 & -{\rm e}^{-t}+{\rm e}^t & {\rm e}^t \end{bmatrix} \end{aligned} (sI−A)−1Φ(t)​=⎣⎡​s−200​1s+1−2​10s−1​⎦⎤​−1=(s−1)(s−2)(s+1)1​⎣⎡​(s+1)(s−1)00​−(s+1)(s−1)(s−2)2(s−2)​−(s+1)0(s+1)(s−2)​⎦⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​s−21​00​s−11​−s−21​s+11​s−11​−s+11​​s−11​−s−21​0s−11​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=L−1[(sI−A)−1]=⎣⎡​e2t00​−e2t+ete−t−e−t+et​−e2t+et0et​⎦⎤​​

3. A=[−21000−21000−21000−2]A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&1&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​−2000​1−200​01−20​001−2​⎦⎥⎥⎤​；

   由于AAA阵为约当阵，存在一个约当块，可得：
   Φ(t)=[e−2tte−2t12t2e−2t16t3e−2t0e−2tte−2t12t2e−2t00e−2tte−2t000e−2t]\Phi(t)=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t} & \displaystyle\frac{1}{2}t^2{\rm e}^{-2t} &\displaystyle\frac{1}{6}t^3{\rm e}^{-2t}\\ 0 & {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t} & \displaystyle\frac{1}{2}t^2{\rm e}^{-2t}\\ 0 & 0 & {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t}\\ 0 & 0 & 0 &{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​e−2t000​te−2te−2t00​21​t2e−2tte−2te−2t0​61​t3e−2t21​t2e−2tte−2te−2t​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

4. A=[−21000−20000−21000−2]A=\begin{bmatrix}-2&1&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​−2000​1−200​00−20​001−2​⎦⎥⎥⎤​；

   由于AAA阵为约当阵，存在两个约当块，可得：
   Φ(t)=[e−2tte−2t000e−2t0000e−2tte−2t000e−2t]\Phi(t)= \begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t} & 0 & 0\\ 0 & {\rm e}^{-2t} & 0 & 0\\ 0 & 0 & {\rm e}^{-2t} & t{\rm e}^{-2t}\\ 0 & 0 & 0 & {\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=⎣⎢⎢⎡​e−2t000​te−2te−2t00​00e−2t0​00te−2te−2t​⎦⎥⎥⎤​

Example 9.13

设矩阵AAA为2×22\times22×2常数矩阵，对于系统的状态方程：x˙=Ax\dot{x}=Axx˙=Ax，当x(0)=[1−1]x(0)=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}x(0)=[1−1​]时，x(t)=[e−2t−e−2t]x(t)=\begin{bmatrix}{\rm e}^{-2t}\\-{\rm e}^{-2t}\end{bmatrix}x(t)=[e−2t−e−2t​]；当x(0)=[2−1]x(0)=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}x(0)=[2−1​]时，x(t)=[2e−t−e−t]x(t)=\begin{bmatrix}2{\rm e}^{-t}\\-{\rm e}^{-t}\end{bmatrix}x(t)=[2e−t−e−t​]；确定矩阵AAA。

解：

由于x(t)=Φ(t)x(0)x(t)=\Phi(t)x(0)x(t)=Φ(t)x(0)，根据已知条件有：
[e−2t−e−2t]=Φ(t)[1−1]，[2e−t−e−t]=Φ(t)[2−1]\begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t}\\ -{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix}=\Phi(t)\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} 2{\rm e}^{-t}\\ -{\rm e}^{-t} \end{bmatrix}=\Phi(t)\begin{bmatrix} 2\\ -1 \end{bmatrix} [e−2t−e−2t​]=Φ(t)[1−1​]，[2e−t−e−t​]=Φ(t)[2−1​]
联立可得：
[e−2t2e−t−e−2t−e−t]=Φ(t)[12−1−1]\begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & 2{\rm e}^{-t}\\ -{\rm e}^{-2t} & -{\rm e}^{-t} \end{bmatrix}=\Phi(t)\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & -1 \end{bmatrix} [e−2t−e−2t​2e−t−e−t​]=Φ(t)[1−1​2−1​]
解得：
Φ(t)=[e−2t2e−t−e−2t−e−t][12−1−1]−1=[2e−t−e−2t2e−t−2e−2t−e−t+e−2t−e−t+2e−2t]\Phi(t)=\begin{bmatrix} {\rm e}^{-2t} & 2{\rm e}^{-t}\\ -{\rm e}^{-2t} & -{\rm e}^{-t} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & -1 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} 2{\rm e}^{-t}-{\rm e}^{-2t} & 2{\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-2t}\\ -{\rm e}^{-t}+{\rm e}^{-2t} & -{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=[e−2t−e−2t​2e−t−e−t​][1−1​2−1​]−1=[2e−t−e−2t−e−t+e−2t​2e−t−2e−2t−e−t+2e−2t​]
根据状态转移矩阵运算性质可得：
A=Φ˙(t)∣t=0=[−2e−t+2e−2t−2e−t+4e−2te−t−2e−2te−t−4e−2t]∣t=0=[02−1−3]A=\left.\dot\Phi(t)\right|_{t=0}=\left.\begin{bmatrix} -2{\rm e}^{-t}+2{\rm e}^{-2t} & -2{\rm e}^{-t}+4{\rm e}^{-2t}\\ {\rm e}^{-t}-2{\rm e}^{-2t} & {\rm e}^{-t}-4{\rm e}^{-2t} \end{bmatrix}\right|_{t=0}=\begin{bmatrix} 0 & 2\\ -1 & -3 \end{bmatrix} A=Φ˙(t)∣∣∣​t=0​=[−2e−t+2e−2te−t−2e−2t​−2e−t+4e−2te−t−4e−2t​]∣∣∣∣​t=0​=[0−1​2−3​]

Example 9.14

已知线性定常自治系统的状态方程为：
x˙=[010001000]x，x(0)=[112]\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}x，x(0)=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix} x˙=⎣⎡​000​100​010​⎦⎤​x，x(0)=⎣⎡​112​⎦⎤​
求系统的状态轨线。

解：

线性定常齐次状态方程的解为：x(t)=eAtx(0)x(t)={\rm e}^{At}x(0)x(t)=eAtx(0).

由已知条件可知：
A=[010001000]，A2=[001000000]，Ak=0，∀k≥3eAt=∑k=0∞1k!tkAk=I+At+12A2t2=[1t12t201t001]\begin{aligned} &A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，A^2=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}，A^k=0，\forall{k}≥3\\\\ &{\rm e}^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}t^kA^k=I+At+\frac{1}{2}A^2t^2=\begin{bmatrix} 1 & t & \displaystyle\frac{1}{2}t^2\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} ​A=⎣⎡​000​100​010​⎦⎤​，A2=⎣⎡​000​000​100​⎦⎤​，Ak=0，∀k≥3eAt=k=0∑∞​k!1​tkAk=I+At+21​A2t2=⎣⎢⎡​100​t10​21​t2t1​⎦⎥⎤​​
故系统状态轨线为：
x(t)=eAtx(0)=[1t12t201t001][112]=[1+t+t21+2t2]x(t)={\rm e}^{At}x(0)=\begin{bmatrix} 1 & t & \displaystyle\frac{1}{2}t^2\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\1\\2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+t+t^2\\ 1+2t\\ 2 \end{bmatrix} x(t)=eAtx(0)=⎣⎢⎡​100​t10​21​t2t1​⎦⎥⎤​⎣⎡​112​⎦⎤​=⎣⎡​1+t+t21+2t2​⎦⎤​

Example 9.15

求下列齐次状态方程的解：

1. x˙(t)=[01−10]x(t)，x(0)=[11]\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}x˙(t)=[0−1​10​]x(t)，x(0)=[11​]；
2. x˙(t)=[σωω−σ]x(t)，x(0)=[σω]\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}\sigma&\omega\\\omega&-\sigma\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}\sigma\\\omega\end{bmatrix}x˙(t)=[σω​ω−σ​]x(t)，x(0)=[σω​]；

解：

1. x˙(t)=[01−10]x(t)，x(0)=[11]\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}x˙(t)=[0−1​10​]x(t)，x(0)=[11​]；

   齐次线性方程的解的形式为：x(t)=eAtx(0)x(t)={\rm e}^{At}x(0)x(t)=eAtx(0)。

   由于
   eAt=L−1[(sI−A)−1]=L−1[ss2+11s2+1−1s2+1ss2+1]=[cos⁡tsin⁡tsin⁡tcos⁡t]{\rm e}^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]=L^{-1}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{s}{s^2+1} & \displaystyle\frac{1}{s^2+1}\\ -\displaystyle\frac{1}{s^2+1} & \displaystyle\frac{s}{s^2+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos{t} & \sin{t}\\ \sin{t} & \cos{t} \end{bmatrix} eAt=L−1[(sI−A)−1]=L−1⎣⎢⎡​s2+1s​−s2+11​​s2+11​s2+1s​​⎦⎥⎤​=[costsint​sintcost​]
   因此
   x(t)=eAtx(0)=[cos⁡t+sin⁡tcos⁡t−sin⁡t]x(t)={\rm e}^{At}x(0)=\begin{bmatrix} \cos{t}+\sin{t}\\ \cos{t}-\sin{t} \end{bmatrix} x(t)=eAtx(0)=[cost+sintcost−sint​]

2. x˙(t)=[σωω−σ]x(t)，x(0)=[σω]\dot{x}(t)=\begin{bmatrix}\sigma&\omega\\\omega&-\sigma\end{bmatrix}x(t)，x(0)=\begin{bmatrix}\sigma\\\omega\end{bmatrix}x˙(t)=[σω​ω−σ​]x(t)，x(0)=[σω​]；

   齐次线性方程的解的形式为：x(t)=eAtx(0)x(t)={\rm e}^{At}x(0)x(t)=eAtx(0)。

   由于
   (sI−A)−1=[s−σ−ω−ωs+σ]−1=[s+σ(s−σ)(s+σ)−ω2ω(s−σ)(s+σ)−ω2ω(s−σ)(s+σ)−ω2s−σ(s−σ)(s+σ)−ω2](sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix} s-\sigma & -\omega\\ -\omega & s+\sigma \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{s+\sigma}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} & \displaystyle\frac{\omega}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2}\\ \displaystyle\frac{\omega}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} & \displaystyle\frac{s-\sigma}{(s-\sigma)(s+\sigma)-\omega^2} \end{bmatrix} (sI−A)−1=[s−σ−ω​−ωs+σ​]−1=⎣⎢⎡​(s−σ)(s+σ)−ω2s+σ​(s−σ)(s+σ)−ω2ω​​(s−σ)(s+σ)−ω2ω​(s−σ)(s+σ)−ω2s−σ​​⎦⎥⎤​
   因此
   eAt=L−1[(sI−A)−1]=L−1[as−σ2+ω2+cs+σ2+ω2bs−σ2+ω2−bs+σ2+ω2bs−σ2+ω2−bs+σ2+ω2cs−σ2+ω2+as+σ2+ω2]=[aeσ2+ω2t+ce−σ2+ω2tbeσ2+ω2t−be−σ2+ω2tbeσ2+ω2t−be−σ2+ω2tceσ2+ω2t+ae−σ2+ω2t]\begin{aligned} {\rm e}^{At}&=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]\\\\ &=L^{-1}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{a}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}+\displaystyle\frac{c}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} & \displaystyle\frac{b}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}-\displaystyle\frac{b}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}\\\\ \displaystyle\frac{b}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}-\displaystyle\frac{b}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} & \displaystyle\frac{c}{s-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}+\displaystyle\frac{a}{s+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} \end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix} a{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}+c{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}&b{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}-b{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}\\\\ b{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}-b{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t} & c{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}+a{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t} \end{bmatrix} \end{aligned} eAt​=L−1[(sI−A)−1]=L−1⎣⎢⎢⎢⎡​s−σ2+ω2​a​+s+σ2+ω2​c​s−σ2+ω2​b​−s+σ2+ω2​b​​s−σ2+ω2​b​−s+σ2+ω2​b​s−σ2+ω2​c​+s+σ2+ω2​a​​⎦⎥⎥⎥⎤​=⎣⎡​aeσ2+ω2​t+ce−σ2+ω2​tbeσ2+ω2​t−be−σ2+ω2​t​beσ2+ω2​t−be−σ2+ω2​tceσ2+ω2​t+ae−σ2+ω2​t​⎦⎤​​
   其中：
   a=σ+σ2+ω22σ2+ω2，b=ω2σ2+ω2，c=σ2+ω2−σ2σ2+ω2a=\frac{\sigma+\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}，b=\frac{\omega}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}，c=\frac{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}-\sigma}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}} a=2σ2+ω2​σ+σ2+ω2​​，b=2σ2+ω2​ω​，c=2σ2+ω2​σ2+ω2​−σ​
   则
   x(t)=eAtx(0)=[σ2+ω2+σσ2+ω22σ2+ω2eσ2+ω2t−σ2+ω2−σσ2+ω22σ2+ω2e−σ2+ω2tω2(eσ2+ω2t+e−σ2+ω2t)]x(t)={\rm e}^{At}x(0)=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{\sigma^2+\omega^2+\sigma\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}-\frac{\sigma^2+\omega^2-\sigma\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{2\sqrt{\sigma^2+\omega^2}}{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}\\\\ \displaystyle\frac{\omega}{2}\left({\rm e}^{\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}+{\rm e}^{-\sqrt{\sigma^2+\omega^2}t}\right) \end{bmatrix} x(t)=eAtx(0)=⎣⎢⎢⎢⎡​2σ2+ω2​σ2+ω2+σσ2+ω2​​eσ2+ω2​t−2σ2+ω2​σ2+ω2−σσ2+ω2​​e−σ2+ω2​t2ω​(eσ2+ω2​t+e−σ2+ω2​t)​⎦⎥⎥⎥⎤​