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文章目录

• 重积分
• • 1 曲顶柱体的体积
  • • 一、实例
    • 二、二重积分的定义
    • 三、二重积分的性质
  • 2 二重积分的计算
  • • 一、在直角坐标系下
    • 二、在极坐标系下
  • 3 三重积分
  • 4 三重积分的计算
  • • 一、直角坐标系下
    • 二、在柱面坐标系下
    • 三、在球面坐标系下
  • 5 重积分的应用

重积分

1 曲顶柱体的体积

一、实例

平面区域直径′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{平面区域直径'}}}平面区域直径′​ ：区域σ\sigmaσ上任意两端距离最大值。

二、二重积分的定义

设函数f(x,y)f(x, y)f(x,y)是定义在平面可求有界闭区域 DDD上的有界函数，如果

lim⁡λ→0∑inf(ξi,ηi)Δσi\lim_{\lambda \to 0}\sum_i^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i λ→0lim​i∑n​f(ξi​,ηi​)Δσi​

存在（则称f(x,y)f(x, y)f(x,y)在DDD上可积），极限值为III，且III的值与对DDD的分法无关，也与Ni(ξi,ηi)N_i(\xi_i, \eta_i)Ni​(ξi​,ηi​)在σi\sigma_iσi​上的取法无关，则称III为f(x,y)f(x, y)f(x,y)在有界闭区域DDD上的二重积分。记为

∬Df(x,y)dσ\iint_{D} f(x, y)d\sigma∬D​f(x,y)dσ

。其中f(x,y)f(x, y)f(x,y)称为被积函数，DDD称为积分区域，dσd\sigmadσ称为面积元素，f(x,y)dσf(x, y)d\sigmaf(x,y)dσ称为被积表达式。

三、二重积分的性质

中值定理′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{中值定理'}}}中值定理′​ ：设f(x,y)f(x, y)f(x,y)在有界闭区域DDD上连续，SSS表示DDD的面积，则至少存在一点(ξ,η)∈D(\xi, \eta) \in D(ξ,η)∈D 使得∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)S\iint_D f(x, y)d\sigma = f(\xi, \eta)S∬D​f(x,y)dσ=f(ξ,η)S。

2 二重积分的计算

一、在直角坐标系下

简单区域′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{简单区域'}}}简单区域′​ ：平行于xxx轴或yyy轴的直线与区域DDD的边界的交点不多于两个。

X型区域′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{X型区域'}}}X型区域′​ ：与yyy轴平行的直线与DDD的边界交点不多于两个。∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫cdf(x,y)dy\iint_D f(x,y)d\sigma = \int_a^b dx \int_c^d f(x, y)dy∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫cd​f(x,y)dy

Y型区域′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{Y型区域'}}}Y型区域′​ ：与xxx轴平行的直线与DDD的边界交点不多于两个。∬Df(x,y)dσ=∫cddy∫abf(x,y)dx\iint_D f(x,y)d\sigma = \int_c^d dy \int_a^b f(x, y)dx∬D​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫ab​f(x,y)dx

若区域DDD是简单区域，则将积分化成两次单积分进行求解；若区域DDD不是简单区域，利用平行于yyy轴或xxx轴的直线把DDD分为若干个简单区域D1,D2,⋯,DnD_1, D_2, \cdots, D_nD1​,D2​,⋯,Dn​再分别求解，最后相加。

二重积分∬Df(x,y)dσ=∬Df(x,y)dxdy\iint_D f(x, y)d\sigma = \iint_D f(x, y)dxdy∬D​f(x,y)dσ=∬D​f(x,y)dxdy

二、在极坐标系下

1. 二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式：

   假设有界闭区域DDD满足：从极点出发的半直线与DDD的边界的交点不多于两个。

   ∬Df(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(xi,yi)Δσi=lim⁡λ→0∑i=1nf(ρicos⁡θi,ρisin⁡θi)ρiΔρiΔθi=∬Df(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ\iint_D f(x, y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i)\Delta \sigma_i \\ = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\rho_i\cos\theta_i, \rho_i\sin\theta_i)\rho_i \Delta\rho_i\Delta\theta_i \\ = \iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta∬D​f(x,y)dσ=limλ→0​∑i=1n​f(xi​,yi​)Δσi​=limλ→0​∑i=1n​f(ρi​cosθi​,ρi​sinθi​)ρi​Δρi​Δθi​=∬D​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ

2. 极坐标系下的累次积分

   假设有界闭区域DDD满足：从极点出发的半直线与DDD的边界的交点不多于两个。

   （1）极点OOO在积分区域外部

   D={(ρ,θ)∣ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ),α≤θ≤β}D = \{(\rho, \theta) | \rho_1(\theta) \le \rho \le \rho_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\}D={(ρ,θ)∣ρ1​(θ)≤ρ≤ρ2​(θ),α≤θ≤β}

   ∬Df(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ=∫αβdθ∫ρ1(θ)ρ2(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρ\iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho∬D​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫αβ​dθ∫ρ1​(θ)ρ2​(θ)​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

   （2）极点OOO在积分区域边界上

   D={(ρ,θ)∣0≤ρ≤ρ(θ),α≤θ≤β}D = \{(\rho, \theta) | 0 \le \rho \le \rho(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\}D={(ρ,θ)∣0≤ρ≤ρ(θ),α≤θ≤β}

   ∬Df(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ=∫αβdθ∫0ρ(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρ\iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_\alpha^\beta d\theta \int_0^{\rho(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho∬D​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫αβ​dθ∫0ρ(θ)​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

   （3）极点OOO在积分区域内部

   D={(ρ,θ)∣0≤ρ≤ρ(θ),0≤θ≤2π}D = \{(\rho, \theta) | 0 \le \rho \le \rho(\theta), 0 \le \theta \le 2\pi\}D={(ρ,θ)∣0≤ρ≤ρ(θ),0≤θ≤2π}

   ∬Df(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρdθ=∫02πdθ∫0ρ(θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρdρ\iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\rho(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho∬D​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫02π​dθ∫0ρ(θ)​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

例：计算∫0+∞e−x2dx\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx∫0+∞​e−x2dx。

构造两个圆域和一个矩形域，分别记为D1,D2,SD_1, D_2, SD1​,D2​,S，利用夹逼准则，求出极限为π2\frac{\sqrt{\pi}}{2}2π​​。

∬Se−x2−y2dxdy=∫0Re−x2dx∫0Re−y2dy=(∫0Re−x2dx)2\iint_S e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_0^R e^{-x^2}dx \int_0^R e^{-y^2}dy = (\int_0^R e^{-x^2}dx)^2∬S​e−x2−y2dxdy=∫0R​e−x2dx∫0R​e−y2dy=(∫0R​e−x2dx)2

3 三重积分

仿照二重积分的定义，把面积元素换成体积元素即可定义三重积分。记为∭Ωf(x,y,z)dv\iiint_{\Omega} f(x, y, z)dv∭Ω​f(x,y,z)dv。

4 三重积分的计算

一、直角坐标系下

设平行于zzz轴的直线穿过Ω\OmegaΩ时与Ω\OmegaΩ的边界曲面交点不多于两个。

把f(x,y,z)f(x, y, z)f(x,y,z)中的x,yx, yx,y看作常数，对zzz在[z1(x,y),z2(x,y)][z_1(x, y), z_2(x, y)][z1​(x,y),z2​(x,y)]（z_1(x, y), z_2(x, y)分别为区域Ω\OmegaΩ的上下曲面方程）上作积分，得ϕ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz\phi(x, y) = \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z)dzϕ(x,y)=∫z1​(x,y)z2​(x,y)​f(x,y,z)dz。设ϕ(x,y)\phi(x, y)ϕ(x,y)在DDD上可积，则：

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∬Dϕ(x,y)dxdy=∬D[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy\iiint_{\Omega} f(x, y, z) dx dy dz = \iint_D \phi(x, y)dx dy = \iint_D [\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z)dz]dx dy∭Ω​f(x,y,z)dxdydz=∬D​ϕ(x,y)dxdy=∬D​[∫z1​(x,y)z2​(x,y)​f(x,y,z)dz]dxdy。其中DDD是区域Ω\OmegaΩ沿着平行于zzz轴方向的投影得到的区域。

类似地，可以沿着其他坐标轴进行投影。

思想：先对其中一个轴进行积分，将其他两个变量当作常数′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{常数'}}}常数′​ 。

方法二：∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫c1c2dz∬Df(x,y,z)dxdy\iiint_\Omega f(x, y, z) dx dy dz = \int_{c_1}^{c_2}dz \iint_D f(x, y, z)dx dy∭Ω​f(x,y,z)dxdydz=∫c1​c2​​dz∬D​f(x,y,z)dxdy。

二、在柱面坐标系下

柱面坐标′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{柱面坐标'}}}柱面坐标′​ ：在直角坐标系下点M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z)，在xoyxoyxoy面上以原点OOO为极点，xxx轴为极轴，建立极坐标系，再以zzz轴为数轴，构成了一个柱面坐标系。表示形式为P(ρ,θ,z)P(\rho, \theta, z)P(ρ,θ,z)。

柱面坐标与直角坐标的关系′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{柱面坐标与直角坐标的关系'}}}柱面坐标与直角坐标的关系′​ ：x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ,z=zx = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta, z = zx=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z。

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρdρdθdz\iiint_\Omega f(x, y, z)dx dy dz = \iiint_\Omega f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z)\rho d\rho d\theta dz∭Ω​f(x,y,z)dxdydz=∭Ω​f(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz

三、在球面坐标系下

球面坐标′\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{球面坐标'}}}球面坐标′​ ：设空间一点MMM在直角坐标下的坐标为M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z)。

x=rsin⁡ϕcos⁡θ,y=rsin⁡ϕsin⁡θ,z=rcos⁡ϕx = r\sin\phi\cos\theta, y = r\sin\phi\sin\theta, z = r\cos\phix=rsinϕcosθ,y=rsinϕsinθ,z=rcosϕ。

∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(rsin⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕsin⁡θ,rcos⁡ϕ)r2sin⁡ϕdrdϕdθ\iiint_\Omega f(x, y, z)dx dy dz = \iiint_\Omega f(r\sin\phi\cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi)r^2 \sin\phi dr d\phi d\theta∭Ω​f(x,y,z)dxdydz=∭Ω​f(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕ)r2sinϕdrdϕdθ

V=∭Ω1dxdydz=∫abdθ∫cddϕ∫efr2sin⁡ϕdrV = \iiint_\Omega 1 dx dy dz = \int_a^b d\theta \int_c^d d\phi \int_e^f r^2\sin\phi drV=∭Ω​1dxdydz=∫ab​dθ∫cd​dϕ∫ef​r2sinϕdr

5 重积分的应用

1. 曲面的面积

   设曲面Σ:z=f(x,y)\Sigma: z = f(x, y)Σ:z=f(x,y)，Σ\SigmaΣ在xoyxoyxoy面上投影区域为DDD，f(x,y)f(x, y)f(x,y)在DDD上有连续的偏导数fx′(x,y),fy′(x,y)f_x^\prime(x, y), f_y^\prime(x, y)fx′​(x,y),fy′​(x,y)，用切平面的面积近似代替小曲面的面积。

   dAdAdA与dσd\sigmadσ有如下关系：dσ=dA⋅∣cos⁡γ∣d\sigma = dA \cdot |\cos\gamma|dσ=dA⋅∣cosγ∣其中γ\gammaγ是曲面在点MMM的法线与zzz轴正向的夹角。所以dA=1∣cos⁡γ∣dσdA = \frac{1}{|\cos\gamma|}d\sigmadA=∣cosγ∣1​dσ。其中∣cos⁡γ∣=11+fx′2+fy′2|\cos\gamma| = \frac{1}{\sqrt{1+{f_x^\prime}^2+{f_y^\prime}^2}}∣cosγ∣=1+fx′​2+fy′​2​1​，因此dA=1∣cos⁡γ∣dσ=1+fx′2+fy′2dσdA = \frac{1}{|\cos\gamma|}d\sigma = \sqrt{1+{f_x^\prime}^2+{f_y^\prime}^2}d\sigmadA=∣cosγ∣1​dσ=1+fx′​2+fy′​2​dσ。所以曲面的面积S=∬D1+fx′2+fy′2dσS = \iint_D \sqrt{1+{f_x^\prime}^2+{f_y^\prime}^2} d\sigmaS=∬D​1+fx′​2+fy′​2​dσ