• 注: 以下内容均由个人整理, 不保证完全准确, 如有纰漏, 欢迎交流讨论
• 参考: 杨明, 刘先忠. 矩阵论(第二版)[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005

2 Jordan 标准形介绍

2.1 线性变换的对角矩阵表示

线性变换的特征值 特征向量

TTT 是 Vn(F)V_n(F)Vn​(F) 上的线性变换, TTT 在某组基 {ξ1,ξ2,...ξn}\{\xi_1,\xi_2,...\xi_n\}{ξ1​,ξ2​,...ξn​} 下变换矩阵为对角矩阵 [λ1λ2⋱λn]\begin{bmatrix}\lambda_1& & & \\ &\lambda_2& & \\ & &\ddots& \\ & & &\lambda_n\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡​λ1​​λ2​​⋱​λn​​⎦⎥⎥⎤​ ⟺ T(ξi)=λiξi,i=1,2,...,nT(\xi_i)=\lambda_i\xi_i,i=1,2,...,nT(ξi​)=λi​ξi​,i=1,2,...,n

Def’ 2.1: TTT 是 Vn(F)V_n(F)Vn​(F) 上的线性变换, 若 ∃ξ∈Vn(F),λ∈F,ξ≠0⃗:T(ξ)=λξ\exists\xi\in V_n(F),\lambda\in F,\xi\neq\vec{0}: T(\xi)=\lambda\xi∃ξ∈Vn​(F),λ∈F,ξ​=0:T(ξ)=λξ:

• 数 λ\lambdaλ 是 TTT 特征值 (对应变换矩阵 AAA 的特征值)
• 向量 ξ\xiξ 是 TTT 对应 λ\lambdaλ 的特征向量 (向量坐标对应变换矩阵 AAA 的特征向量)

相似矩阵有相同特征值, 与基的选择无关; 但特征向量一般不同.

特征向量求法

(相当于求矩阵特征向量)

1. 选择基(一般选自然基), 并写出变换 TTT 在基下对应的变换矩阵 AAA
2. 求矩阵 AAA 的特征值: 即求特征多项式 f(λ)=∣λI−A∣=0f(\lambda)=\pmb{|\lambda I-A|}=0f(λ)=∣λI−A∣​∣λI−A∣​​∣λI−A∣=0 的解 λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nλ1​,λ2​,...,λn​ 为全部特征值.
3. 求矩阵 AAA 关于 λi\lambda_iλi​ 的特征向量: 求方程 (λiI−A)X=0(\lambda_iI-A)X=0(λi​I−A)X=0 或 (A−λiI)X=0(A-\lambda_iI)X=0(A−λi​I)X=0 的非零解 XXX (需要将算出的 λi\lambda_iλi​ 的值带入). 它是 TTT 的特征值对应的特征向量的坐标.

特征子空间

Def’ 2.2: 特征子空间 Vλ=L{ξ1,ξ2,...,ξt}={ξ∣T(ξ)=λξ}=N(T−λI)V_\lambda=L\{\xi_1,\xi_2,...,\xi_t\}=\{\xi|T(\xi)=\lambda\xi\}=N(T-\lambda I)Vλ​=L{ξ1​,ξ2​,...,ξt​}={ξ∣T(ξ)=λξ}=N(T−λI), 即 ξ1,ξ2,...,ξt\xi_1,\xi_2,...,\xi_tξ1​,ξ2​,...,ξt​ 是变换 TTT 对应特征值 λ\lambdaλ 的极大线性无关组(变换的 ttt 个特征向量).

Th 2.2: 特征子空间性质:
Vn(F)V_n(F)Vn​(F) 上线性变换 TTT 的 sss 个互异特征值 λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_nλ1​,λ2​,...,λn​, Vλi=L{ξ1,ξ2,...,ξt}V_{\lambda_i}=L\{\xi_1,\xi_2,...,\xi_t\}Vλi​​=L{ξ1​,ξ2​,...,ξt​} 是 λi\lambda_iλi​ 的特征子空间, i=1,2,...,si=1,2,...,si=1,2,...,s, 则:

• VλiV_{\lambda_i}Vλi​​ 是 TTT 的不变子空间(原像和像都在该空间)
• λi≠λj\lambda_i\neq\lambda_jλi​​=λj​, 则 Vλi∩Vλj={0⃗}V_{\lambda_i}\cap V_{\lambda_j}=\{\vec{0}\}Vλi​​∩Vλj​​={0}
• 若 λi\lambda_iλi​ 是 TTT 的 kkk 重特征值(1 个特征值至少 1 个特征向量), 则 dimVλi≤kdimV_{\lambda_i}\leq kdimVλi​​≤k (dimVλidimV_{\lambda_i}dimVλi​​ 为特征向量的个数, 即几何重数; kkk 为代数重数; 几何重数≤\leq≤代数重数)

推论:

• 单特征值 λi\lambda_iλi​, dimVλi=1dimV_{\lambda_i}=1dimVλi​​=1
• Vλ1+Vλ2+...+Vλs=Vλ1⊕Vλ2⊕...Vλs⊆Vn(F)V_{\lambda_1}+V_{\lambda_2}+...+V_{\lambda_s}=V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus...V_{\lambda_s}\subseteq V_n(F)Vλ1​​+Vλ2​​+...+Vλs​​=Vλ1​​⊕Vλ2​​⊕...Vλs​​⊆Vn​(F)

线性变换矩阵对角化

Vn(F)V_n(F)Vn​(F) 上线性变换 TTT 可对角化 ⟺ TTT 的变换矩阵 AAA 可对角化
⟺ TTT 有 nnn 个线性无关的特征向量
⟺ ∑dimVλi=n\sum dim V_{\lambda_i}=n∑dimVλi​​=n
⟺ dimVλi=ki,i=1,...,sdim V_{\lambda_i}=k_i,i=1,...,sdimVλi​​=ki​,i=1,...,s (即每个特征子空间的几何重数等于代数重数), 其中 f(λ)=∣λI−A∣=(λ−λ1)k1(λ−λ2)k2⋯(λ−λs)ks,∑i=1ski=nf(\lambda)=|\lambda I-A|=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{k_s}, \sum_{i=1}^sk_i=nf(λ)=∣λI−A∣=(λ−λ1​)k1​(λ−λ2​)k2​⋯(λ−λs​)ks​,∑i=1s​ki​=n (代数重数的和总为 nnn, 但几何重数的和≤n\leq n≤n)
⟺ Vλ1⊕Vλ2⊕...Vλs=Vn(F)V_{\lambda_1}\oplus V_{\lambda_2}\oplus...V_{\lambda_s}=V_n(F)Vλ1​​⊕Vλ2​​⊕...Vλs​​=Vn​(F)

重要等式:
dimVλi=n−rank(λI−A)dimV_{\lambda_i}=n-rank(\lambda I-A)dimVλi​​=n−rank(λI−A)
特征子空间 VλiV_{\lambda_i}Vλi​​ 的维数相当于整个空间 Vn(F)V_n(F)Vn​(F) 的维数减去"求子空间的方程 λI−A\lambda I-AλI−A 的秩".
一种理解: 以 (λI−A)x=0⃗(\lambda I-A)x=\vec{0}(λI−A)x=0 解方程的角度理解

• dimVλidimV_{\lambda_i}dimVλi​​: 即 VλiV_{\lambda_i}Vλi​​ 基的个数, 相当于自由未知数的个数
• nnn: 即未知数的总数
• rank(λI−A)rank(\lambda I-A)rank(λI−A): 即未知数的方程个数.

2.2 Jordan 矩阵介绍

Jordan 块和 Jordan 矩阵

Jordan 块:
J(λ)=[λ1λ1⋱1λ]J(\lambda)=\begin{bmatrix} \lambda&1& & \\ &\lambda&1& \\ & &\ddots&1\\ & & &\lambda \end{bmatrix} J(λ)=⎣⎢⎢⎡​λ​1λ​1⋱​1λ​⎦⎥⎥⎤​
注: 对角线 λ\lambdaλ 都相同, 上面一列全为 1.

Jordan 矩阵: 有 Jordan 块组成
J=[J(λ1)J(λ2)⋱J(λm)]J=\begin{bmatrix} J(\lambda_1)& & & \\ &J(\lambda_2)& & \\ & &\ddots& \\ & & &J(\lambda_m) \end{bmatrix} J=⎣⎢⎢⎡​J(λ1​)​J(λ2​)​⋱​J(λm​)​⎦⎥⎥⎤​

Jordan 标准形

Th 2.5: 在复数域 CCC 上, 每个方阵 AAA 都相似于一个 Jordan 阵 JAJ_AJA​.
含义:

• Jordan 矩阵可以作为相似标准形
• 惟一性: Jordan 子块的集合唯一(子块的顺序无关紧要)
• AAA 相似于 BBB ⟺ JAJ_AJA​ 相似于 JBJ_BJB​

Jordan 标准形求法★

目标: 求可逆矩阵 PPP 和 Jordan 矩阵 JAJ_AJA​, 使 AP=PJAAP=PJ_AAP=PJA​

求法与步骤:

1. 求 AAA 的特征值
   f(λ)=∣λI−A∣=(λ−λ1)k1(λ−λ2)k2⋯(λ−λs)ksf(\lambda)=|\lambda I-A|=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{k_s} f(λ)=∣λI−A∣=(λ−λ1​)k1​(λ−λ2​)k2​⋯(λ−λs​)ks​
   注: 检查特征值是否正确: ∑λi=trace(A)\sum\lambda_i=trace(A)∑λi​=trace(A)
   有 sss 个特征值, 则 JAJ_AJA​ 有 sss 个 Jordan 子矩阵 Ji(λi)J_i(\lambda_i)Ji​(λi​), 每一个子矩阵:
   • 特征值均为 λi\lambda_iλi​.
   • 阶数(即占 JAJ_AJA​ 的行数)为对应代数重数 kik_iki​.
   • 会包含几何重数 tit_iti​ 个 Jordan 块.
2. 分别求 sss 个特征值对应的特征向量 α\alphaα
   (A−λiI)X=0(A-\lambda_iI)X=0 (A−λi​I)X=0
   有 tit_iti​ 个特征向量(即特征子空间维度 dimVλidimV_{\lambda_i}dimVλi​​, 即特征值的几何重数), 则子矩阵 Ji(λi)J_i(\lambda_i)Ji​(λi​) 有 tit_iti​ 个 Jordan 块.
3. 分别求每个 Jordan 子矩阵 Ji(λi)J_i(\lambda_i)Ji​(λi​) 的每个 Jordan 链条
   判断特征值 λi\lambda_iλi​ 的代数重数 kik_iki​ 与几何重数(即特征向量个数) tit_iti​ 的大小关系:
   • 若 ti=ki\pmb{t_i=k_i}ti​=ki​​ti​=ki​​​ti​=ki​, 则: Ji(λi)J_i(\lambda_i)Ji​(λi​) 有 tit_iti​ 个 1 阶 Jordan 块, 即为对角矩阵(对角线元素为 λi\lambda_iλi​).
   • 若 ti 首先依次将每个特征向量作为 α\alphaα 代入尝试 (A−λiI)y2=α(A-\lambda_iI)y_2=\alpha(A−λi​I)y2​=α, 判断方程是否相容(是否有解). 若有解则选定该特征向量求解 y2y_2y2​. 然后将解 y2y_2y2​ 代入 (A−λiI)yi=yi−1(A-\lambda_iI)y_i=y_{i-1}(A−λi​I)yi​=yi−1​ 继续求解 y3y_3y3​, 直至方程不相容(无解), 根据广义特征向量的个数从而确定对应的 Jordan 块的阶数.
     若每个特征向量代入 (A−λiI)y2=α(A-\lambda_iI)y_2=\alpha(A−λi​I)y2​=α 均无解, 则应构造 tit_iti​ 个特征向量的线性组合 α=c1α1+c2α2+...+ctiαti,α≠0⃗\alpha=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+...+c_{t_i}\alpha_{t_i},\alpha\neq\vec{0}α=c1​α1​+c2​α2​+...+cti​​αti​​,α​=0, 通过求解常量 cjc_jcj​ 得到对应的 α\alphaα. 并选择该构造的特征向量 α\alphaα 求解 y2,y3y_2,y_3y2​,y3​ 等, 直至方程 (A−λiI)yi=yi−1(A-\lambda_iI)y_i=y_{i-1}(A−λi​I)yi​=yi−1​ 无解.
     {(A−λiI)α=0(A−λiI)y2=α(A−λiI)y3=y2⋯⋯(A−λiI)yki−ti+1=yki−ti\begin{cases} (A-\lambda_iI)\alpha&=0\\ (A-\lambda_iI)y_2&=\alpha\\ (A-\lambda_iI)y_3&=y_2\\ \cdots&\cdots\\ (A-\lambda_iI)y_{k_i-t_i+1}&=y_{k_i-t_i} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​(A−λi​I)α(A−λi​I)y2​(A−λi​I)y3​⋯(A−λi​I)yki​−ti​+1​​=0=α=y2​⋯=yki​−ti​​​
4. 根据 Jordan 链条写出可逆矩阵 PPP 和 Jordan 矩阵 JAJ_AJA​.
   PPP 分为 s 个列块 P=(P1,...,Ps)P=(P_1,...,P_s)P=(P1​,...,Ps​), 对应每个特征值相同的 Jordan 子矩阵 Ji(λi)J_i(\lambda_i)Ji​(λi​)
   每个 PiP_iPi​ 由选择的特征向量和广义特征向量构成.
   • 若 ti=kit_i=k_iti​=ki​:
     PiP_iPi​ 的列由特征值 λi\lambda_iλi​ 对应的 tit_iti​ 个特征向量构成.
     Ji(λi)J_i(\lambda_i)Ji​(λi​) 是对角元素为 λi\lambda_iλi​ 的 kik_iki​ 阶对角矩阵.
     Pi=(α1,α2,...,αti),Ji(λi)=[λiλi⋱λi]ti×tiP_i=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{t_i}), J_i(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i& & & \\ &\lambda_i& & \\ & &\ddots& \\ & & &\lambda_i \end{bmatrix}_{t_i\times t_i} Pi​=(α1​,α2​,...,αti​​),Ji​(λi​)=⎣⎢⎢⎡​λi​​λi​​⋱​λi​​⎦⎥⎥⎤​ti​×ti​​
   • 若 ti PiP_iPi​ 的列由特征值 λi\lambda_iλi​ 对应的 tit_iti​ 个 Jordan 块 JijJ_{ij}Jij​ 的特征向量和广义特征向量构成. 每个 Jordan 块 JijJ_{ij}Jij​ 包括 1 个特征向量(可能是求解的特征向量, 也可能是构造的特征向量 α=∑j=1ticjαj\alpha=\sum_{j=1}^{t_i}c_j\alpha_jα=∑j=1ti​​cj​αj​)和基于该特征向量求解的多个广义特征向量 y2,...y_2,...y2​,... 构成.
     JiJ_iJi​ 由 tit_iti​ 个对角元素是 λi\lambda_iλi​ 的 Jordan 块(块的阶数由方程相容性计算得到的 Jordan 链条数确定)构成(要与 PPP 每一列的特征向量一一对应).
     Pij=(α,y2,...,ynj),∑j=0tnij=kiPi=(Pi1,Pi2,...,Pij,...,Piti)P=(P1,...,Pi,...,Ps)Jij(λi)=[λi1λi⋱⋱1λi]ni×niJi(λi)=diag(Ji1,...,Jij,...,Jiti)JA=diag(J1(λ1),...,Ji(λi),...,Js(λs))\begin{aligned} &P_{ij}=(\alpha,y_2,...,y_{n_j}),\sum_{j=0}^tn_{ij}=k_i\\ &P_i=(P_{i1},P_{i2},...,P_{ij},...,P_{it_i})\\ &P=(P_1,...,P_i,...,P_s) \\ \\ &J_{ij}(\lambda_i)=\begin{bmatrix} \lambda_i&1& & \\ &\lambda_i&\ddots& \\ & &\ddots&1\\ & & &\lambda_i \end{bmatrix}_{n_i\times n_i}\\ &J_i(\lambda_i)=diag(J_{i1},...,J_{ij},...,J_{it_i})\\ &J_A=diag(J_1(\lambda_1),...,J_i(\lambda_i),...,J_s(\lambda_s)) \end{aligned}\\ ​Pij​=(α,y2​,...,ynj​​),j=0∑t​nij​=ki​Pi​=(Pi1​,Pi2​,...,Pij​,...,Piti​​)P=(P1​,...,Pi​,...,Ps​)Jij​(λi​)=⎣⎢⎢⎡​λi​​1λi​​⋱⋱​1λi​​⎦⎥⎥⎤​ni​×ni​​Ji​(λi​)=diag(Ji1​,...,Jij​,...,Jiti​​)JA​=diag(J1​(λ1​),...,Ji​(λi​),...,Js​(λs​))​

2.3 最小多项式

矩阵多项式

Def’ 2.4: 设 A∈Fn×n,ai∈F,g(λ)=amλm+⋯+a1λ+a0A\in F^{n\times n}, a_i\in F, g(\lambda)=a_m\lambda^m+\cdots+a_1\lambda+a_0A∈Fn×n,ai​∈F,g(λ)=am​λm+⋯+a1​λ+a0​ 是一个多项式, 则矩阵 g(A)=amAm+⋯+a1A+a0g(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0g(A)=am​Am+⋯+a1​A+a0​ 为方阵 A 的矩阵多项式.
Th 2.6 性质:

• AX=λ0XAX=\lambda_0XAX=λ0​X ⇒ g(A)X=g(λ0)Xg(A)X=g(\lambda_0)Xg(A)X=g(λ0​)X (特征值不同但特征向量相同)
• P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B ⇒ P−1g(A)P=g(B)P^{-1}g(A)P=g(B)P−1g(A)P=g(B)
• A=[A1A2⋱Ak]A=\begin{bmatrix}A_1& & & \\ &A_2& & \\ & &\ddots& \\ & & &A_k\end{bmatrix}A=⎣⎢⎢⎡​A1​​A2​​⋱​Ak​​⎦⎥⎥⎤​ 为准对角矩阵 ⇒ g(A)=[g(A1)g(A2)⋱g(Ak)]g(A)=\begin{bmatrix}g(A_1)& & & \\ &g(A_2)& & \\ & &\ddots& \\ & & &g(A_k)\end{bmatrix}g(A)=⎣⎢⎢⎡​g(A1​)​g(A2​)​⋱​g(Ak​)​⎦⎥⎥⎤​ 也为准对角矩阵.

矩阵多项式的求法

目标: 求矩阵 AAA 的矩阵多项式 g(A)g(A)g(A)
步骤:

1. 计算矩阵 AAA 的 JAJ_AJA​ 和 PPP 以及 P−1P^{-1}P−1
   g(A)=P⋅g(JA)⋅P−1=P⋅diag(g(J1),g(J2),...,g(Jk))⋅P−1g(A)=P\cdot g(J_A)\cdot P^{-1}= P\cdot diag(g(J_1),g(J_2),...,g(J_k))\cdot P^{-1} g(A)=P⋅g(JA​)⋅P−1=P⋅diag(g(J1​),g(J2​),...,g(Jk​))⋅P−1
   其中 JiJ_iJi​ 为每个 Jordan 块
2. 对于每个 Jordan 块 Ji(λ)J_i(\lambda)Ji​(λ)
   
   g(Ji)=[g(λ)g′(λ)g′′(λ)2!⋯gr−1(λ)(r−1)!g(λ)g′(λ)⋱⋮g(λ)⋱g′′(λ)2!⋱g′(λ)g(λ)]g(J_i)=\begin{bmatrix} g(\lambda)&g'(\lambda)&\frac{g''(\lambda)}{2!}&\cdots&\frac{g^{r-1}(\lambda)}{(r-1)!}\\ &g(\lambda)&g'(\lambda)&\ddots&\vdots\\ & &g(\lambda)&\ddots&\frac{g''(\lambda)}{2!}\\ & & &\ddots&g'(\lambda)\\ & & & &g(\lambda) \end{bmatrix} g(Ji​)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​g(λ)​g′(λ)g(λ)​2!g′′(λ)​g′(λ)g(λ)​⋯⋱⋱⋱​(r−1)!gr−1(λ)​⋮2!g′′(λ)​g′(λ)g(λ)​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​
   (即每上一层斜对角, 对 g(λ)g(\lambda)g(λ) 做一次求导并除以导数次数的阶乘)
   
   最终由 g(Ji)g(J_i)g(Ji​) 组成矩阵 g(JA)g(J_A)g(JA​)
3. 由 g(A)=P⋅g(JA)⋅P−1g(A)=P\cdot g(J_A)\cdot P^{-1}g(A)=P⋅g(JA​)⋅P−1 计算得到 g(A)g(A)g(A)

化零多项式

让矩阵多项式为零矩阵 g(A)=0g(A)=\pmb{0}g(A)=000
若 AAA 有化零多项式, 则有无穷多化零多项式.

Def’ 2.7(Cayley 定理) 特征多项式是化零多项式. f(λ)=∣λI−A∣f(\lambda)=|\lambda I-A|f(λ)=∣λI−A∣, f(A)=0f(A)=\pmb{0}f(A)=000
应用:

• 使 Ak(∀k≥n)A^k(\forall k\geq n)Ak(∀k≥n) 降阶至不超过 n−1n-1n−1 次的多项式(除法余项) r(λ)r(\lambda)r(λ): g(λ)=q(λ)f(λ)+r(λ)g(\lambda)=q(\lambda)f(\lambda)+r(\lambda)g(λ)=q(λ)f(λ)+r(λ)
• 由 f(A)=0f(A)=0f(A)=0, A−1A^{-1}A−1 可以用多项式表示: A−1=−1a0(An−1+an−1An−2+⋯+a2A+a1),a0≠0A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_2A+a_1),a_0\neq 0A−1=−a0​1​(An−1+an−1​An−2+⋯+a2​A+a1​),a0​​=0
• 对线性变换 TTT, f(T)=0f(T)=0f(T)=0(此时 fff 为特征多项式)，即 f(T)f(T)f(T) 为零变换

最小多项式

Def’ 2.5 最小多项式 mA(λ)m_A(\lambda)mA​(λ): Vn(F)V_n(F)Vn​(F) 上线性变换 TTT 的变换矩阵为 AAA, mA(λ)m_A(\lambda)mA​(λ) 满足:

• mA(A)=0m_A(A) = 0mA​(A)=0
• mA(λ)m_A(\lambda)mA​(λ) 在化零多项式中次数最低
• mA(λ)m_A(\lambda)mA​(λ) 最高次项系数是 1

mA(λ)m_A(\lambda)mA​(λ) 整除任何化零多项式

最小多项式的结构
设 f(λ)=(λ−λ1)k1(λ−λ2)k2⋯(λ−λs)ksf(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{k_s}f(λ)=(λ−λ1​)k1​(λ−λ2​)k2​⋯(λ−λs​)ks​, 则特征多项式:
mA(λ)=(λ−λ1)n1‾(λ−λ2)n2‾⋯(λ−λs)ns‾m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{\overline{n_1}}(\lambda-\lambda_2)^{\overline{n_2}}\cdots(\lambda-\lambda_s)^{\overline{n_s}} mA​(λ)=(λ−λ1​)n1​​(λ−λ2​)n2​​⋯(λ−λs​)ns​​
其中, ni‾\overline{n_i}ni​​ 是 λi\lambda_iλi​ 对应 Jordan 块的指数(最高阶数)
(λi\lambda_iλi​ 对应 Jordan 块有多个, ni‾\overline{n_i}ni​​ 是其中最大的那个的阶数)

Th 2.10: 线性变换 TTT 可以对角化 ⟺ TTT 的最小多项式是一次因子的乘积 mA(λ)=(λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λs)m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_s)mA​(λ)=(λ−λ1​)(λ−λ2​)⋯(λ−λs​)

矩阵相似问题的一些结果

相似矩阵

相似矩阵具有相同的:

• 特征值和特征多项式
• 化零多项式和最小多项式
• 行列式 det(A)det(A)det(A)、迹 trace(A)=∑inaii=∑λitrace(A)=\sum_i^n a_{ii}=\sum\lambda_itrace(A)=∑in​aii​=∑λi​ 和秩 rank(A)rank(A)rank(A)

幂等矩阵 幂零矩阵 乘法矩阵

• 幂等矩阵: A2=AA^2=AA2=A ⟺ A∼[Ir0]A\sim\begin{bmatrix}I_r& \\ &0\end{bmatrix}A∼[Ir​​0​]
• 幂零矩阵 Ak=0A^k=0Ak=0 ⟺ 特征值均为 0
• 乘方矩阵: A2=IA^2=IA2=I ⟺ A∼[I−I]A\sim\begin{bmatrix}I& \\ &-I\end{bmatrix}A∼[I​−I​]

A,AT,AH,AHAA,\ A^T,\ A^H,\ A^HAA, AT, AH, AHA

• A∼ATA\sim A^TA∼AT
• A∼AHA\sim A^HA∼AH ⟺ 矩阵的非实数特征值对应的 Jordan 块以共轭对出现 (eg: [i−i]\begin{bmatrix}i& \\ &-i\end{bmatrix}[i​−i​])
• AHA∼AAHA^HA\sim AA^HAHA∼AAH: 特征多项式、值相同, 且可对角化

AB,BAAB,BAAB,BA

• 特征值, 特征多项式相同(但不一定相似)
• 若 AAA 或 BBB 可逆, 则 AB∼BAAB\sim BAAB∼BA
• 行列式 det(A)det(A)det(A)、迹 trace(A)=∑inaii=∑λitrace(A)=\sum_i^n a_{ii}=\sum\lambda_itrace(A)=∑in​aii​=∑λi​ 相同
  秩不一定相同