813. 最大平均值和的分组

题目：

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。

注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。

返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6 内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

提示:

1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 104
1 <= k <= nums.length

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/largest-sum-of-averages
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思路：

dp[i][k]表示前i个数构成k个子数组时的最大平均值, 那么对于所有 k-1 <= j <= i-1
dp[i][k] = Math.max(dp[i][k], dp[j][k-1] + (A[j+1] + ... + A[i]) / (i-j))

需要借助前缀和加速求解区间内的平均值

具体实现：定义(N+1) * (K+1)的二维dp数组。计算basecase，k=1的特殊情况。for循环N个数1~N（已经转换为前缀数组，下标从1开始），for循环m：2~k分别计算拆分2次，3次到k次能获得的前i个数区间平均值的最大值。具体而言：dp[i][m]的值有两部分组成：拆分前面j个数的最大值dp[j][m - 1] （子问题，前面循环已算过），加上[j + 1, i]之间的平均值。

代码：

class Solution {
public:double largestSumOfAverages(vector& nums, int k) {if(nums.empty())return 0.0;int N = nums.size();vector prefixsum(N + 1,0.0);for(int i = 1;i <= N;i++)prefixsum[i] = prefixsum[i - 1] + nums[i - 1];vector> dp(N + 1,vector(k + 1,0.0));for(int i = 1;i <= N;i++)dp[i][1] = prefixsum[i] / i;for(int i = 1;i <= N;i++)for(int m = 2;m <= k;m++)for(int j = m - 1;j < i;j++)dp[i][m] = max(dp[i][m],dp[j][m - 1] + (prefixsum[i] - prefixsum[j]) / (i - j));return dp[N][k];}
};