2. 对于线性空间U, V, W和它们之间的线性映射f,g
U
f
−→ V
g
−→ W
称它们在V 处是正合的，如果Imf = Kerg.证明：
(1)若下面这列有限维线性空间之间的线性映射：
0 −→ U
f
−→ V
g
−→ W −→ 0
在U, V, W处都是正合的，证明：dimU + dimW = dimV ;
(2)若n个线性空间Vi
, i = 1, ..., n都是有限维的，且它们之间有如下线
性映射：
0 −→ V1
f1 −→ V2
f2 −→ V3 −→ · · · −→ Vn−1
fn−1
−→ Vn −→ 0。其中每个Vi处都正合，证明：
X
i=2k
dimVi =
X
i=2k+1
dimVi
,
即，奇数项的维数和等于偶数项的维数和。

首先，让我们证明一个引理：对于线性空间V和其子空间U，有dim(V) = dim(U) + dim(V/U)，其中V来自/U表示商空间。
证明：
考虑U的一组基{u1, u2, ..., um}，可以扩展成V的一组基{u1, u2, ..., um, v1, v2, ..., vn}。
首先证明{v1, v庆神香吧将岩攻械以文2, ..., vn}是V360问答/U的一组基：
- 线性无关性：假设存在不全为零的标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0。那么可以将等式两边分别与u1, u2, ..., um求和，得到聚c1u1 + c2u2 + ... + 衣料仅权或cmum = 0。由于{u1, u2, ..., um}是线性无关的，因此c1 = c2 = ... = cn = 0，证明了{v1, v2, ..., vn}的线性罗无关性。
- 生成性：对于任意的v + U ∈ V/U，其中v ∈ V，可以写成v + U = (c1u1 + c2u2 + ... 条陈置+ cmum + v) + U = c1(u1 + U) + c2(u2 + U) + .宪伤.. + cn(un 预九伯声打谈+ U)，即v + U可以由{u1 + U, u2 + U, ..., un + U}生成。
因此，{v1, v2, ..., v剂举往在构弦司门巴儿观n}是V/U的一组基，其维数为dim(V/U) = n。
根据引理，我们现在来证明问题的两个部分：
(1) 如果0 → U f → V g → W → 0 在U, V, W处都是正合的，则有dim(U) + dim(W) = dim(V)。
根据正合的定义，Im(f) = Ker(g)，因此有dim(Im(f)) = dim(Ker(g))。
由于Im(f)是V的子空间，根鱼却气背巴药妈据引理，我们有dim(V) = dim(Im(f)) + dim(V/Im(f))。
同时，由于Ker(g)是V的子空间，我们有dim(V) = dim(Ker(g)) + dim(V/Ker(g))。
由于Im(f) = Ker(g)，我们可以将V/Im(f) 和 V/Ker(g) 视为同一个空间，记为W'，即V/Im(f) = V/Ker(g) = W'。
因此，dim(V) = dim(Im(f)) + dim(W')。
再考虑序列0 → U f → V g → W → 0 的正合性：
由正合性可知，Im(f) = 取酸方快粒面Ker(g)。根据引理，我们有dim(Im(f)) = dim(Ker(g))。
将其代入dim(V) = dim(Im(f)) + dim(W')的等式中，我们得书么延到dim(V) = dim(Ker(g)) + dim(W')。
综上所述，我们有dim(V) = dim(U) + dim(W)。
(2) 如果0 → V1 f1 → 曲析号挥丰需穿岩举怀效V2 f2 → V3 → ...
→ V乱的影围紧层影促n-1 fn-1 → Vn → 0 中每个Vi处都正合，则有奇数项的维数和等于偶数项的维数和，即∑i=1^k dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i) 对十汉于任意的k ≤ n/2。
我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
基本情况：当k = 1 时，我们有dim(V1) = dim(V2)。
归纳假设：假设对于某个k ≤ n/2，我们有∑i=1^k 银雨南微子dim(V2i-1) = 美∑i=1^k dim(V2i)。
归纳步骤：我们要证明对于k+1，也成立∑i=1出报画坚入席^(k+1) dim(V2i-1) = ∑i=1^(k+1) dim(V2i)。
考虑序列0 → V1 f1 → V2 f2 → V3 → ... → Vn-1 fn-1 → Vn → 0 中的第k+1个映射 fn-1：Vn-1 → Vn。
由正合性可知，Im(fn-1) = Ker(Vn)。根据引理，我们有dim(Im(fn-1)) = dim(Ker(Vn))。
同时，由于Im(fn-1)是Vn的子空间，我们有dim(Vn) = dim(Im(fn-1)) + dim(Vn/Im(fn-1))。
我们已经知道dim(Im(fn-1)) = dim(Ker(Vn))，我们可以将Vn/Im(fn-1) 视为同一个空间，记为W''，即Vn/Im(fn-1) = W''。
因此，dim(Vn) = dim(Im(fn-1)) + dim(W'')。
将其代入dim(Vn) = dim(Im(fn-1)) + dim(W'')的等式中，我们得到dim(Vn) = dim(Ker(Vn)) + dim(W'')。
根据归纳假设，我们有∑i=1^k dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i)。
因此，我们可以将奇数项和偶数项分别相加：∑i=1^k+1 dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i-1) + dim(Vn) 和 ∑i=1^k dim(V2i) = ∑i=1^k dim(V2i) + dim(W'')。
结合上述的维数等式，我们得到∑i=1^k+1 dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i-1) + dim(Ker(Vn)) + dim(W'')。
根据引理，我们有dim(Vn) = dim(Ker(Vn)) + dim(W'')，因此可以将其代入上述等式，得到∑i=1^k+1 dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i-1) + dim(Vn)。
通过化简，
我们得到∑i=1^k+1 dim(V2i-1) = ∑i=1^(k+1) dim(V2i-1)。
根据数学归纳法，对于任意的k ≤ n/2，我们有∑i=1^k dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i)。
因此，奇数项的维数和等于偶数项的维数和，即∑i=1^k dim(V2i-1) = ∑i=1^k dim(V2i) 对于任意的k ≤ n/2。
证毕。

给定一个向量空间V，如果存在一组有限个向量v1,v2,...,vn，使得任意一个向量都可以由它们线性组合而成，那么称这组向量是V的一组生成元，n称为V的维数。问：下列哪些向量可以作为向量空间R^3的一组生成元？
(1) (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
(2) (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1)
(3) (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,0,1)