xy"+y'²=1

xdy'/dx=1-y'²

dx/x=dy/(1-并率社切散世也报顾y'²)=(1/2)[1/(1+y')+1/(1-y')]dy'

2dx/x=dy'/(1+y')切夜速百另抗磁带+dy'/(1-y')

ln|c|+lnx²=ln|1+y'|-ln|1-y'|=ln√|(1+y')/(1-y')|

c树山议般环班现x²=(1+y')土/(1-y')

cx²(1-y')=1+y'

(cx²+1)y'=耐果该复该cx²-1

y'=(cx²-1)/(cx²+1)=1-力状翻虽2/(cx²+1)

【1】c=0，y=-x+c₁

【2】c>0，议原饭危把刻讨接四y=x-(2/√c)arctan[(√c)x]+c₁

【3】c<0，y=x-2arcsin{[√(-c)]x}+c₁

首先，对于方程 $xy''+(y')^2=1$，可以进行觉棉苗科改款转每讲兴变形得到：
$$y''=万门含吸怕孙住解依\frac{1-(y')^按甲形补利马杆磁故川2}{x}$$
然后，我们可以将变量分离，得到：
$$\fr答助样种月需苗接谁ac{y''}{\sqrt{1-(y')^2}}=\frac{1}{x\sqrt{1-(y')^2}}$$
接下来，我们做代换 $y'=\sin\theta$，则 $y''=\frac{d}{dx}(\sin\theta)=\cos\theta\cdot\f院移战问齐个吗rac{d\theta}{dx}$。将代换带入上式中得到：
$$\frac{\cos\theta\cdot\frac{d\theta}{dx}}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}=\世谁frac{1}{x\sqrt{1-\sin^2\theta}}$$
化简可得：
$$\cos\theta\cdot d\theta降乐次少犯阶=\frac{dx}{x}$$
对上式两边同时积分，得到：
$$\int\cos\theta,d\theta=\int\frac{dx}{x}$$
即
$$\sin\theta=\ln|x|+C_1$$
其中 $C_1$ 是常数。回代 $y'=\sin\theta$，得到：
$$y'=\sin(\ln|x|+C_1)$$
再次积分，得到：
$$y=-\cos(\ln|x|+C_1)+C_2$$
其中 $C_2$ 是常数。将初始条件 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=-1$ 带入上式中，可得 $C_1=0$，$C_2=0$，即：
$$y=-\cos(\ln|x|)$$
这就是方程的解。