您好，感谢您刚才的回答，再请教您一道椭圆题目（位于第16题），谢谢！_生活常识

admin

2023-03-02 20:31:23

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16.过焦点在x轴上的椭圆C的左焦点F做一条斜率为k的直线，交椭圆于A、B两点。过F作FC⊥x轴交椭圆于C，连接F和椭圆的下顶点D。

若|AF|•|BF|=|CF|•|DF|•(k^2)，求(k^2)•e的最大值。（e为椭圆的离心率）

^2就是平方，•就是乘，希望有做题过程，谢谢！

简述：

设AB与x轴正方向夹角为θ，则k=tanθ

由椭圆极坐标方程r=ep/(1-ecosα),知：

|AF|*|BF|=ep/(1-ecosθ)*ep/(1+cosθ)=e²p²/(1-e²cos²θ)

令α=π/2，则有|CF|=ep, 易知|DF|=a

∴e²p²/(1-e²cos²θ)=ep*a*tan²θ

b²/(a²-c²cos²θ)=(1-cos²θ)/cos²θ

c²(cos²θ)²-2a²cos²θ+a²=0

cos²θ=(a²-ab)/c², sin²θ=1-cos²θ=(ab-b²)/c某盾², k²=tan²θ=b/a

∴k²·e=b/a*c/a=bc/(b²+c²)<=bc/(2bc)=1/2

所以k²·e的最大值为1/2，当b=c时取得

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