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这个是显卡硬件结构决定的，前面先做线性变换（即投影矩阵）到齐次坐标，然后x,y,z都除以w。正好使用两套不同运算器，提升效率。当x,y,z都除以w以后，前三项均值域为[-1,1]，w变为1，叫做NDC。

2.作用 齐次坐标是在射影几何中讨论点、直线和平面所使用的基本工具，可以方便地描述无穷远点、平行线和交点等特殊情况。3.应用 在计算几何学中，齐次坐标的使用得到广泛应用，例如在多边形裁剪、扫描线算法和三角形划分等领域

引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p' = p*M的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。其次，它可以表示无穷远的点。n+1

齐次坐标的使用能够大大简化在三维空间中的点线面表达方式和旋转平移等操作，具体分如下几点进行说明。

为什么用齐次坐标?

根据他的几何概念，射影几何（比如二维的）是研究从一个平面上的点到另一个平面上的点或者到同一平面上的点（直射变换）的变换群下的不变量，变换形式如x1'=a11x1+a12x2+a13x3（齐次坐标）或x'=(a11x+a12y+a13)/(

另—方面,运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系,把变换分为全等,相似,仿射,直射等类型,给出线束中四条线交比的度量公式等。接着,普吕克引进丁另一种齐次坐标系,得到了平面上无穷远线的方程,无穷远

于是可以令：而(x0，x1，x2)就是p点的齐次射影坐标。A0，A1，A2和E的坐标依次是(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)和(1，1，1)。在射影坐标系里,任意直线的方程是含x0，x1，x2的线性齐次方程。特殊地，A1

交比定理：射影变换保持交比不变。假设E是射影中心，直线m上的点A、B、C、D与E的连线交直线n于A'、B'、C'、D'。那么，（A,B;C,D）=（A',B';C',D'）。下面，用面积法给出这个问题的证明，看图。齐次坐标

齐次坐标是将欧几里得几何转化为射影几何的重要工具，它允许我们使用一组更广泛的代数工具来描述点和多项式，可以避免在计算几何中出现分母为0的问题。1.定义 在欧氏三维空间中的一个三元组(x,y,z)称为齐次坐标，如果其中至

因此，可以把(0，x1，x2)作为的齐次坐标，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x轴和y 轴上无穷远点的齐次坐标。这样，每一组不同时为零的三个数x0，x1，x2都是扩大平面上一点的齐次坐标，

射影几何学的齐次坐标

齐次坐标（Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如，2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w，变成(x, y, w)，其中

所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。实数。显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。那

1、齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。2、其他投影空间：齐次坐标的数值若为实数，则会得出一般实投影空间内的一个点。不

简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标 我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限

，p'为变换后的向量)。引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p'= p*M的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。其次，它可

在图形变换中引入齐次坐标的目的是。A:便于实现缩放变换 B:统一用矩阵表示图形的变换 C:便于实现错切变换 D:无特殊目的，一直沿用而已 正确答案：B

在图形几何变换中要采用齐次坐标技术的原因是需要把各种变换都统一了起来，即把缩放，旋转，平移等变换都统一起来，都表示成一连串的矩阵相乘的形式，保证了形式上的线性一致性。不管有多少次变换，都可以用矩阵乘法来实现。但

齐次坐标是什么?图像处理中引入齐次坐标的目的是什么

齐次坐标包括点坐标和线坐标，而且，齐次点坐标和齐次线坐标的外形是相同的，所以从代数学的角度看，点共线的对偶情形是线共点。这就是对偶原理的主要内容。在我看来，齐次坐标的作用就是统一了对于点和线的操作。二次曲线

用[n+1]维数组表示n维坐标的方法叫齐次坐标法(Homogenous coordinate),如用[X Y 1]表.针时取下面一组正负号.我们可以用表示变换矩阵,即任一点的坐标乘变换矩阵后得出新坐标.

所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如，二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出，一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次

一个点p的坐标为（x,y），它的齐次坐标可以表示为（kx,ky,k）。反过来，当知道一个齐次坐标点（kx,ky,k），也可以计算出它的原始坐标点（x,y）。通常k=1，则点p的齐次坐标为（x,y,1）。图像处理中，引入齐次坐

齐次坐标是将欧几里得几何转化为射影几何的重要工具，它允许我们使用一组更广泛的代数工具来描述点和多项式，可以避免在计算几何中出现分母为0的问题。1.定义 在欧氏三维空间中的一个三元组(x,y,z)称为齐次坐标，如果其中至

齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n加1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。齐次坐标在电脑图形内无处不在，因为该坐标允许平移、旋转、缩放及透视投影等可表示为

1、齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。2、其他投影空间：齐次坐标的数值若为实数，则会得出一般实投影空间内的一个点。不

什么是齐次坐标

一个点p的坐标为（x,y），它的齐次坐标可以表示为（kx,ky,k）。 反过来，当知道一个齐次坐标点（kx,ky,k），也可以计算出它的原始坐标点（x,y）。 通常k=1，则点p的齐次坐标为（x,y,1）。 图像处理中，引入齐次坐标的目的是为了处理三维空间问题。 实际上背后的原理是黎曼几何。 想深入了解的话，可以找本黎曼几何的书翻翻。
对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1） 而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2）， 从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3) (1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！ 我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o) p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。 这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换： (1)从普通坐标转换成齐次坐标时 如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1); 如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0) (2)从齐次坐标转换成普通坐标时 如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z); 如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z) 以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向. 而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。 此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。 由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。 以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，很多已经被封装的好的API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算机图形学的学习者，除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而解决问题。
为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。仍从欧氏（或仿射）平面开始。设在平面上已经建立了以O为原点的直角（或仿射）坐标系，(x，y)为一点p 的坐标。令则比值x0:x1:x2完全确定p 的位置，(x0，x1，x2)就叫做p的齐次（笛氏）坐标。原点的齐次坐标显然可以写成(1，0，0)。设p不是原点O，则x1，x2不同时等于零；再令x1，x2固定，而令x0向0接近，则p点沿一条经过O而斜率为x2:x1的直线l向远方移动。设表示扩大直线l上的无穷远点，则可以认为，当x0趋于O 时，p趋于。因此，可以把(0，x1，x2)作为的齐次坐标，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x轴和y 轴上无穷远点的齐次坐标。这样，每一组不同时为零的三个数x0，x1，x2都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若ρ 为不等于零的数，则(ρx0，ρx1，ρx2)和(x0，x1，x2)代表同一点，下面引进记号(x)=(x0，x1，x2)，ρ(x)=(ρx0，ρx1，ρx2)。设(u1，u2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。在用齐次坐标表示时，它可以写成， (1)这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是(0，u2，-u1)(0，u2，-u1)。扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成x0=0。这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。由于比值u0:u1:u2完全确定直线，(u)=(u0，u1，u2)就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标，上面引进的(x)=(x0，x1，x2)就叫做（齐次）点坐标。方程(1)叫做点(x)和线(u)的关联条件或接合（即(x)在(u)上，或(u)经过(x)）条件。当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(x)和(u)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。与此类似，可以得到扩大或射影直线上的点坐标以及扩大或射影空间的点坐标 和面坐标 。在扩大或射影空间中，点(x)和面(u)的关联条件是下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。在射影空间，指定一个平面x0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。

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