本篇文章给大家谈谈 求一极坐标函数图形绕极轴旋转的旋转体体积公式 ，以及 高等数学 心形线绕极轴转一圈的体积怎么求?求过程 对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。今天给各位分享 求一极坐标函数图形绕极轴旋转的旋转体体积公式 的知识，其中也会对 高等数学 心形线绕极轴转一圈的体积怎么求?求过程 进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

极坐标系下求绕极轴旋转的旋转体的体积具体计算过程如下 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(-θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180

用guldin公式重心轨迹长为2π*2/3*r(θ)*sinθ，所以微元的面积dV=2/3*r(θ)三次方*sinθ积分即可。例如：r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积 0 <= θ <= π.曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极

极坐标方程求旋转体体积公式内容如下：x=t-sint。极坐标是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。在平面内取一个定点O，叫极点。在极坐标引一条射线Ox，叫做极轴，再选定

极坐标绕极轴旋转体积公式：用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ,y=rsinθ即可得到此公式。对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算，给出三种计算

另一种做法是用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ，y=rsinθ即可得到此公式。

求一极坐标函数图形绕极轴旋转的旋转体体积公式

r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积 0 <= θ <= π.曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为，[a(1 + cosθ)sinθ]^2 当θ变化到(θ+dθ)时，点在曲线上变化的弧长为，a(1+cosθ)

极坐标方程求旋转体体积公式内容如下：x=t-sint。极坐标是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。在平面内取一个定点O，叫极点。在极坐标引一条射线Ox，叫做极轴，再选定

极坐标绕极轴旋转体积公式：用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ,y=rsinθ即可得到此公式。对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算，给出三种计算

极坐标系下求绕极轴旋转的旋转体的体积具体计算过程如下 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(-θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180

极坐标系下求绕极轴旋转的旋转体的体积

解：计算旋转体体积，需要补充一个条件 0≤ φ ≤2π；首先取体积微元，在 x=a（φ－sinφ) 处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：dS = 2πxdx，圆环所在柱面体积：dV= y*dS =2πxydx dx =d[a(φ－sinφ)

ds=(1+y'^2)½dx,用弧长近似代替宽度，然后再对每个竖条子在x轴方向上累加，即a到b积分。这里容易漏掉绝对值，因为面积不能为负数。如果是以参数方程的形式告诉x(t),y(t)，t∈[α,β],则 S=2π∫【α,

因为摆线的方程为 x=a（t-sin t），y=a（1-cos t），0

故所求旋转体体积 V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ = (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ = -(2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3 d(1+cosθ)= -(π/6)a^3[(

计算过程如下：

如何利用参数方程求解旋转体的体积?

心脏线关于 x 轴（极轴）对称，只需一半的曲线即可，即可令 0≤θ≤π；V=∫π(ρsinθ)²dx={0,2π/3}∫π(ρsinθ)²d(ρcosθ)-{2π/3,π}∫π(ρsinθ)²d(ρcosθ)=π∫[a(1+

2、极轴右边：r=a（1+cosθ）a＞0 r²=ar+acosθ =ar+ax 对原式进行两边积分 原式=（π/2）[ax十（2/3）（1/4a）（a²十4ax）^（3/2）]（-a/4,0）= （π/2）（a²/4十（1/6a

解：由极坐标下曲线ρ=ρ(θ)绕极轴旋转所得的体积可以用以极点O为顶点，极径ρ为母线的圆锥体积增量来积分。以ρ=ρ(θ)为母线的圆锥的体积为V(ρ,θ)=(π/3)(ρsinθ)^2(ρcosθ)=(π/3)ρ^3(sinθ)^2

旋转体的体积为160π。解：对于心型线r=4(1+cosθ)，那么x=rcosθ，y=r*sinθ。根据二重积分中体积公式可知，该体积V为，V=∫∫D2πydρ（其中D为心型线围成的区域，D={(r,θ)0≤θ≤π/2，0≤r≤r(θ)

绕极轴旋转所称立体的体积微元：dV=π*|y|^2*ds ds=rdθ y=rsinθ 所以 V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ =πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t

心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π，故所求旋转体体积 V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ = (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ = -(2π/3)a^3

高等数学 心形线绕极轴转一圈的体积怎么求?求过程

极坐标系下求绕极轴旋转的旋转体的体积具体计算过程如下 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(-θ) = r(θ)，则曲线关于极点（0°/180

r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积 0 <= θ <= π.曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为，[a(1 + cosθ)sinθ]^2 当θ变化到(θ+dθ)时，点在曲线上变化的弧长为，a(1+cosθ)

心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π，故所求旋转体体积 V = ∫ <0, π> (2π/3) r^3sinθ dθ = (2π/3)a^3 ∫ <0, π> (1+cosθ)^3sinθ dθ = -(2π/3)a^3

极坐标方程求旋转体体积公式内容如下：x=t-sint。极坐标是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。在平面内取一个定点O，叫极点。在极坐标引一条射线Ox，叫做极轴，再选定

极坐标中,旋转体体积如何求?

心形线 r(θ) = a(1+cosθ) 极轴之上部分 0 ≤ θ ≤ π， 故所求旋转体体积 V = ∫ (2π/3) r^3sinθ dθ = (2π/3)a^3 ∫ (1+cosθ)^3sinθ dθ = -(2π/3)a^3 ∫ (1+cosθ)^3 d(1+cosθ) = -(π/6)a^3[(1+cosθ)^4] = (8π/3)a^3 扩展资料： 极坐标方程 水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0) 垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0) 直角坐标方程 心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2） 参数方程 x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))y=a*(2*sin(t)-sin(2*t)) 所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。 参考资料来源：百度百科-心脏线
极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。 显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π） 绕极轴旋转所称立体的体积微元： dV=π*|y|^2*ds ds=rdθ y=rsinθ 所以 V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ =πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2） =πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同) =64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt =64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式) =64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)] =32π^2*a^3*7/256 =7π^2*a^3/8 扩展资料： 在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。 处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。 直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。 对于平面曲线，与空间曲线论基本定理相仿，它的形态由其相对曲率kr(s)所确定,故kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。 相对曲率kr(s)的逗留点，的点称为曲线的顶点，对于凸闭曲线，即位于其上每一点的切线的一侧的曲线，成立著名的四顶点定理：平面凸闭曲线至少有四个顶点，因为椭圆只有四个顶点，所以这个结论不能再改进。
旋转体的体积如下： 一、圆柱体。把圆柱体分成若干等份，再拼起来，可以拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积是圆柱体的底面积，高是圆柱体的高。圆柱体上下两个面是底面，两个底面之间的垂线段叫做高，圆柱体的体积是底面积乘以高。 二、圆锥体。在圆锥体容器里装满液体，倒入一个与之等底等高的圆柱体容器中，倒三次，正好装满，说明圆锥体的体积是与之等底等高的圆柱体体积的三分之一，也就是底面积乘以高除以三。圆锥体的底面是一个圆，从顶点到底面圆心的线段，叫做圆锥的高。 三、球体。球体是由一个半圆绕着直径旋转一周形成的。球内有一点，它到球面上任何一点的距离也是相等的，这一点是球心。连接球心到球面上一点的线段是球体的半径，过球心并且两端都在球面上的线段叫做球的直径。球体的体积是圆周率乘以直径的立方再除以6。 希望我能帮助你解疑释惑。
计算过程如下：参数方程为x = (cost)^3，y = (sint)^3。 由对称性可知，所求旋转体的体积V是第一象限内曲线和坐标轴所围成的图形绕x轴旋转一周形成旋转体体积V1的2倍。则可以得到： 星形线的性质 最先对星形线进行研究是Johann Bernouli。星形线由于有四个尖端，所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid)。星形线于1836年被正式定名，首次出现在正式出版的图书（出版于维也纳）中。星形线还有许多有趣的名称：cubocycloid和paracycle。 若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线方程为 T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。 如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。 星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。 在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。
可由柱坐标系和球坐标系来解答，柱坐标系是先在面上二重积分用极坐标然后在单积分在z轴上；球坐标系类似一个地球仪（实心的），由球上任意一点到原点的距离r和经度和纬度表示，一个实际的例子就是在地球上任意一点可由全球定位系统唯一的表示出。 另一种做法是用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ，y=rsinθ即可得到此公式。 扩展资料： 极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域。 在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。 参考资料来源：百度百科-极坐标
一. 这样的题目可由柱坐标系和球坐标系来解答，柱坐标系是先在面上二重积分用极坐标然后在单积分在z轴上；球坐标系类似一个地球仪（实心的），由球上任意一点到原点的距离r和经度和纬度表示，一个实际的例子就是在地球上任意一点可由全球定位系统唯一的表示出。 二. 1.首先极坐标系是由极轴绕点按逆时针方向旋转，绕过的角度称为极角。 2.极坐标系与直角坐标系可以互换，但极坐标系一般适用于点到定轴的距离等距的形式，比如圆柱体，圆锥体，抛物面等，因为这直接与极轴与极角联系非常容易表示，这些图形的切面都是类似圆面。如何确定r和角度？要看极轴扫过的地方是否是图形的区域来决定，然后具体作答 3.在设极坐标时要看题目的图形，可能是实心面（一般题目都是这样的，因为那个r是变化的，实心面要考虑面上的任意一点），也可能是空心面（例如环，这时r就是一个定值） 三.好好做上一两道题，试着用不同的方法计算解答，一般所有的积分题目至少有两种解法，比较优劣，（但一般都是球坐标较好，就是一般题型，不是你上面所说的）但是计算旋转体时用柱坐标好
简单计算一下即可，答案如图所示
极坐标绕极轴旋转体积公式：用一般函数图形绕x轴旋转的旋转体体积公式，换元x=rcosθ,y=rsinθ即可得到此公式。 对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算，给出三种计算方法。一般高等数学教材中均给出了由直角坐标表出面积的旋转体体积计算公式，即面积a≤x≤b, 0≤у≤y(x)。绕ox轴旋转所成旋转体的体积为如下图： 常见圆的极坐标方程：(1)、圆心在极点，半径为r的圆：p=r；(2)、圆心为M(a，0)，半径为a的圆：p=2acosθ；(3)圆心为M（a，2/π），半径为a的圆：p=2asinθ. 极坐标，属于二维坐标系统，创始人是牛顿，主要应用于数学领域。极坐标是指在平面内取一个顶点O，叫极点，引一条射线Ox，叫作极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。 对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫作极坐标系。 以上内容参考：百度百科—极坐标

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