复合函数是什么？

复合函数就是形如的式子

• 复合函数的定义域D，就是g(x)的 值域

如何求导 ——链式法则

一句口诀“我愿意一层一层一层一层的剥开你的心的”（结合歌曲旋律）

例如，我们如果需要对这个式子求导的话，将会得到

一层：对f(x)求导

一层又一层：对g(x)求导

例题

已知求

f(x) = \left\{\begin{matrix}
ln\sqrt{x}  &, & x \ge 1  \\ 2x - 1 & ,  & x < 1
\end{matrix}\right.

第一步：广义化（直接带进去）

我们直接将f(x)带入f(x)函数中得到

相当于，我们将f(x)当做自变量，直接将原函数中的 x替换掉

第二步：画图分析

这里需要注意的是

可能很久没有用过数学，这个简单的等式就忘记了！

绘图网站：Desmos | 图形计算器

因为在广义化中，我们得到了两个不等式

• f(x) >= 1
• f(x) < 1

因此，我们需要在函数图像中，需要画一条辅助线，表示f(x ) = 1

第三步：写答案

根据绘制的图像，我们就可以得到结果了

当 f(x) = 1时，x有两个值

• 2x - 1 = 1 ，所以 x = 1
  
  
  

根据两个不等式就能得到区间

在对应到f(x)原始式子得到

f\left [ f\left ( x \right )  \right ] = \left \{\begin{matrix}ln\sqrt[]{ln\sqrt[]{x} }  & , & x \ge e^{2} \\2ln\left ( x \right )   - 1& , & 1 < x < e^{2}\\2(2x - 1) - 1  & , & x < 1
\end{matrix}\right.