柯西不等式
迪丽瓦拉
2025-05-31 21:04:24
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柯西不等式已知x.y.z属于R﹢，且x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)=2.求x/(1+x²)+y/(1+y²)+z/(1+z²)的最大值... 已知x.y.z属于R﹢，且x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)=2.求x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) 的最大值 展开
x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)=2 （a）
∵ (1+x²)/(1+x²)+(1+y²)/(1+y²)+(1+z²)/(1+z²)=3
∴下式-上式，得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)=1 （b）
这里用a，b开始使用柯西不等式
a*b
=[x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)]*[1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)]≥[x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²)]²
即x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) ≤√（2×1）=√2
x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) 的最大值=√2
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x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)=2 （a）
∵ (1+x²)/(1+x²)+(1+y²)/(1+y²)+(1+z²)/(1+z²)=3
∴下式-上式，得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)=1 （b）
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a*b
=[x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)]*[1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)]≥[x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²)]²
即x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) ≤√（2×1）=√2
x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) 的最大值=√2
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