数学题，求大神详细解答，谢谢.
迪丽瓦拉
2025-04-26 09:10:20
0次
数学题，求大神详细解答，谢谢.立体几何

解：已知：四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，求二面角B-PC-D。如下图。

因为PA⊥平面ABCD，所以，平面PAB⊥平面ABCD，

同理平面PAD⊥平面ABCD。且PA=AB。那么，∆PBC和∆PAD都是等腰直角三角形。设：AB=a, 则AB=BC=CD=DA=PA=a.PB=PD=BD=√2a, PC=√3a.

引辅助线BE⊥PC交PC于E，联结DE，因为∆BCE≌∆DCE∽∆PBC；

所以PC/BC=PB/BE, BE=BC*PB/PC=a*√2a/√3a=√2a/√3；

根据余弦定理：2a^2=2*(2/3)a^2-2(2/3)a^2cos(B-PC-D);

cos(B-PC-D)=(4/3-2)/(4/3)=-(1/2)=cos(180º-60º)=cos120º

所以二面角B-PC-D=120º.


代数法比几何法更不需要花很多时间去想，只要建得出系就好，当然步骤相应就会多一点。可以作为一种参考喔！


在平面ABC上作BM垂直AC于M，连接MD
因为：PA垂直平面ABCD，所以：PA垂直BD，PA垂直AB，PA垂直AC
而BD垂直AC，所以：BD垂直平面PAC，所以：BD垂直PC
所以：AC垂直平面BMD
所以：二面角B-AC-D=角BMD
不妨设PA=1，则：AB=BC=1，PB=根号2，AC=根号2，AC=根号3，BD=根号2
所以：PC^2=PB^2+BC^2，所以：角PBC为直角
所以：BM=PB*BC/PC=根号(2/3)
同理：MD=根号(2/3)
由三角形BMD可求得：角BMD=120°
所以：二面角B-AC-D=角BMD=120°
数学题，求大神详细解答，谢谢. 3个回答

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