本篇文章给大家谈谈 晶体的宏观对称要素和对称操作 ，以及 晶体对称定律 对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。今天给各位分享 晶体的宏观对称要素和对称操作 的知识，其中也会对 晶体对称定律 进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

晶体外形上可能存在的对称要素如下。1.对称面(P)对称面是一个假想的平面，它把晶体平分为互为镜像的两个相等部分。其对称操作是对一个平面的反映。在图2－2a中，平面P1和P2(与纸面垂直)是对称面，因它们都可以把图形

晶体外形上可能存在的对称要素有对称面、对称轴、对称中心和旋转反伸轴等，分别叙述如下:(一)对称面(P)对称面是一个假想的平面，它把晶体平分为互为镜像的两个相等部分。其对称操作是对一个平面的反映。其符号为P。在图

晶体的宏观对称性中中对称性元素有对称面（或镜面）、对称中心（或反演中心）、旋转轴和旋转反演轴。基本的对称性操作分为n次旋转对称、n次旋转反演对称。简单来说，一个图形或者晶体的旋转轴太多条了，科学家们为了图省事

在对称性研究中，为使晶体或对称物体中的各个相同部分作有规律重复出现的操作(如反映、旋转和反伸等)，称为对称操作。在对称操作时，还必须借助一定的辅助几何要素(点、线、面等)，称为对称要素。晶体的宏观对称分析中存在

在对称性研究中，为使晶体或对称物体中的各个相同部分做有规律重复出现的操作（如反映、旋转和反伸等），称为对称操作。在对称操作的同时，还必须借助一定的辅助几何要素（点、线、面等），称为对称要素。晶体的宏观对称分析

欲使对称图形中相同部分重复，必须通过一定的操作，这种操作就称之为对称操作（symmetry operation）。在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面），称为对称要素（symmetry element）。晶体外形可能存在的对称要素和相应

晶体的宏观对称要素和对称操作

3. 晶体学：晶体学是研究晶体结构、性质和行为的学科。群论在晶体学中有着广泛的应用，例如，晶体的空间群可以通过群论来描述。4. 拓扑学：拓扑学是研究空间性质的学科。群论在拓扑学中也有着重要的应用，例如，同伦群和上

群论在物理学上的研究主要体现在以下三个方面：群是按照某些规律相互联系的元素的集合。在晶体对称理论中，群的元素是对称操作。DEF 1.点阵：晶体粒子所在位置的点在空间的排列。2.点群（对称类型）：晶体中所含有的全部宏观

2.晶体学：晶体学是研究晶体结构、性质和行为的学科。群论在晶体学中有着重要的应用，可以用来描述晶体的对称性和空间群。3.化学：群论在化学中也有广泛的应用。例如，分子轨道理论中的对称性原理就是基于群论的。此外，群论

1.量子力学：在量子力学中，对称性是非常重要的概念。群论可以用来描述和分析物理系统的对称性，从而帮助我们更好地理解量子力学的性质。2.晶体学：晶体学是研究晶体结构、性质和生长规律的学科。群论可以用来描述晶体中的对称

群论在晶体对称理论中的应用

晶体结构围绕螺旋轴旋转一定角度,并沿轴的方向平移一定距离后,结构中的每一质点都与其相同的质点重合,整个结构自相重合。 按照对称定律,螺旋轴的轴次n与对称轴一样,也只能为1,2,3,4,6;相应的最小基转角α=360°,180°,120°,

由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n=1，2，3，4，6五种。这就是晶体的对称定律。晶体对称定律（law of crystal symmetry）：晶体中可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴

晶体对称定律(law of crystal symmetry)是指晶体中可能出现的对称轴、旋转反伸轴和旋转反映轴的轴次只能是一次、二次、三次、四次和六次,或者说不可能存在五次及高于六次的对称轴、旋转反伸轴和旋转反映轴。 图4-10 各种旋转反伸

(1)对称轴(Ln)：对称轴就一条假想的直线，当晶体依其为轴旋转一周时，可使相同的区域作规律的重复。旋转一周(360°)重复的次数称为轴次。晶体可存在以下几种对称轴：一次轴(L1)：转一周重复一次，最小重复角为360°

晶体对称定律(law of crystal symmetry)：在晶体中，可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴及高于六次的对称轴。晶体的对称定律可以这样理解：在晶体结构中，垂直对称轴一定有

晶体对称定律(law of crystal symmetry)的内容是:在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。这一内容的出现最早可追溯到1801年，而德国学者魏斯(C.S.Wei

晶体对称定律

晶体轴次只能为1,2,3,4,6；根据对称操作，1次反轴等价于对称中心；2次反轴等价于镜面；3次反轴等价于3次旋转轴+对称中心；6次反轴等价于3次旋转轴+垂直于3次轴的镜面；只有4次反轴无法等价于其他对称元素（或组合

即使我们将晶体旋转两次（2 * 45° = 90°），也会发现它并不能回到初始位置，并且保持不变。因此，晶体中也不存在八次对称轴。这样的证明可以使用几何原理和对称性规律进行推导，以证明晶体中不存在五次和八次对称轴。

晶体具有平移的对称性,如果将晶体的一个结构基元抽象为点阵点,那么若连接任两个点阵点作一个向量,将其中任一点按此向量平移都可以找到一个新的点.按此规则,若晶体中存在五重轴,那么由该轴联系的5个点阵点的分布如图.连接

理由如下：晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴.因为它们不符合空间格子的规律.在空间格子中,垂直对称轴一定有面网存在,围绕该对称轴转动所形成的多边形应该符合于该面网上结点所围成的网孔.从下图可以看出,围绕L2、L3、

如何证明晶体中允许的转动对称轴只能是 1.2.3.4.6,重轴

因为晶体必须保证满足平移对称性(点阵)，只有轴次为12346能满足平移对称性，其它轴次会破坏平移对称性（为准晶体）。
晶体具有平移的对称性,如果将晶体的一个结构基元抽象为点阵点,那么若连接任两个点阵点作一个向量,将其中任一点按此向量平移都可以找到一个新的点. 按此规则,若晶体中存在五重轴,那么由该轴联系的5个点阵点的分布如图.连接AB矢量，将它平移到E，矢量一端为点阵点E，另一端没有点阵点，不合点阵的定义，所以晶体的点阵结构不可能存在五重对称轴。
晶体对称定律(law of crystal symmetry)：在晶体中，可能出现的对称轴只能是一次轴、二次轴、三次轴、四次轴、六次轴，不可能存在五次轴及高于六次的对称轴。 晶体的对称定律可以这样理解：在晶体结构中，垂直对称轴一定有面网存在，在垂直对称轴的面网上，结点分布所形成的网孔一定要符合对称轴的对称规律。围绕L2、L3、L4、L6所形成的多边形网孔，可以毫无间隙地布满整个平面，从能量上看是稳定的；且这些多边形网孔也符合于面网上结点所围成的网孔(即形成平行四边形状)。但围绕L5所形成的正五边形网孔，以及围绕高于六次轴所形成的正多边形网孔，如正七边形、正八边形等，都不能毫无间隙地布满整个平面，从能量上看是不稳定的，且这些多边形网孔大多数不符合于面网上结点所围成的网孔。所以，在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。
1.对称要素与对称操作 要研究晶体相同部分的重复规律，必须借助于一些几何图形（点、线、面），通过一定的操作来实现。这些几何图形称为对称要素（symmetry elements），这种操作就叫做对称操作（symmetry operation）。 晶体外部几何形态（晶面、晶棱和角顶等）可能存在的对称要素和相应的对称操作如下。 （1）对称面与反映操作 对称面（symmetry plane，习惯符号P）是一假想的平面，亦称镜面（mirror），相应的对称操作为对此平面的反映。对称面的作用犹如一面镜子，它将图形平分成互为镜像的两个相等部分，分别相当于物体本身和它的像。 图4-3 对称面的镜像反映图解 在图4-3中平面P是对称面，但平面Q则不是对称面。因为平面Q虽然把图形ABCD平分为两个等大且等形的三角形△ADC=△ABC，但这两者并非互为镜像，△ADC的镜像是△AB′C。 一个晶体不一定具有对称面，也可以不止一个对称面，但最多不超过9个。 晶体上的对称面可能出露于垂直平分晶面、垂直晶棱并通过晶棱中点及包含晶棱等3种位置。 对称面以P表示。有一个对称面记作P，有多个对称面时，数字写在P的前面，如立方体具有9个对称面（图4-4），记作9P。 （2）对称轴与旋转操作 对称轴（symmetry axis，习惯符号 Ln）是一假想的直线，相应的对称操作为围绕此直线的旋转。物体绕该直线每旋转一定角度后，可使物体各个相同部分重复，即整个物体重复一次。 物体旋转一周重复的次数称为轴次n。每次重复时所旋转的最小角度称基转角α。两者之间的关系为n=360°/a。由于任一物体旋转一周后必然重复，因此，轴次n必为正整数，基转角α必须要能整除360°。 图4-4 立方体的9个对称面及其极射赤平投影 对称轴以L表示，轴次n写在L的右上角，写作Ln。有多个Ln存在时，数字写在前面，如3L4。 表4-1 晶体外形上各种对称轴及旋转反伸轴的符号及作图符号 晶体外形上可能出现的对称轴见表4-1。 轴次n＞2的对称轴，称高次轴，轴次n≤2的称低次轴。 在一个晶体中，除L1必然存在外，等于或大于2次的对称轴可以没有，也可以有一种（同一轴次）或多种，而同一轴次的可以有一个也可有多个。多种对称轴同时出现时，书写时按高次轴到低次轴依次排列，如3L44L36L2。 对称轴在晶体上可能出露于晶面中心、晶棱中心或晶体角顶（图4-5）。 图4-5 晶体上对称轴出露位置 （据罗谷风，1985） （3）对称心与反伸操作 对称心（center of symmetry，习惯符号C）是一假想的点，相应的对称操作为对该点的反伸。通过物体的对称心作任意直线，在此直线上位于对称心两侧且与对称心等距离的两点处，必定可以找到性质完全相同的对应点。 图4-6是一个具有对称心的图形，C点为对称心。在通过C点所作的直线上，距C等距离的两端可以找到对应点，如A和A1、B和B1；若取图形中任意一点A与对称心C作连线，再由C点向相反方向延伸等距离，必然能找到对应点A1。 任何一个具有对称心的图形中，其相对应的面、棱、角都体现为反向平行。图4-7中C为对称心，△ABD与△A1B1D1为反向平行。 若晶体中存在对称心，其晶面必然成对分布，两两平行，同形等大且方向相反（图4-8）。这是理想晶体有无对称心的判别依据。 （4）旋转反伸轴与旋转加反伸操作 旋转反伸轴（rotoinversion axis，习惯符号为 ），或倒转轴，是假想的一条直线和直线上的一个定点。如果物体绕该直线旋转一定角度后，再对此直线上的定点进行反伸，可使相同部分重复，即所对应的操作是旋转+反伸的复合操作。 以 为例说明其对称含义和操作过程。图4-9a绘出的几何多面体ABCD称四方四面体，它由ABC，BDC，ABD和ACD 4个等腰三角形面所组成，其极射赤平投影见图4-9c，其中小黑点代表上半球晶面投影点，小圆圈代表下半球晶面投影点。其对称操作步骤：①按L4基转角旋转，四方四面体ABCD围绕 旋转90°到达四方四面体A′B′C′D′的位置；此时A′B′C′D′与ABCD两个四方四面体不重复（图4-9b）；②对定点的反伸（其操作相当于对称心的作用，但该定点只是四方四面体的几何中心而非对称心），经过四方四面体中心点的反伸A′B′C′D′与ABCD两个四方四面体重复，具体如三角形A′B′C′的A′反伸到C，B′反伸到D，C′反伸到B，三角形A′B′C′和CDB重合，同理，反伸后A′C′D′与CBA，A′B′D′与CDA，D′C′B′与ABD重合，即四方四面体经过先旋转，再反伸两个对称操作后，整个图形复原。 图4-6 对称心图解 （据潘兆橹等，1993） 图4-7 由对称心联系起来的两个反向平行的图形 （据潘兆橹等，1993） 图4-8 具对称心晶体的晶面特征 （据罗谷风，1985） 结晶学与矿物学 ， ， ， ， 旋转反伸轴的作用及其与简单对称要素的关系见图4-10。 由图4-10可以看出：除 外，其余各种旋转反伸轴都可以用其他简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下： =C； =P； =L3+C； =L3+P⊥。鉴于 不能被其他简单对称要素代替而构成一种独立的对称要素， 虽与L3+P⊥等效，但它在晶体的对称分类中有特殊意义（当晶体中有L3+P⊥时，二者由 替代，晶体为六方晶系而不是三方晶系，见表4-2），因此通常只保留 和 。 应注意， 内总包含一个与它重合的L2。 含有L2的对称操作的作用，但L2没有 的作用，故L2不能替代 。当一个晶体没有对称心且有L2时，此L2很可能是 ，但并非必定是 ；若确为 ，此时L2被包含在 之内不再独立存在。 晶体的对称要素还有旋转反映轴或映转轴（rotoreflection axis，习惯符号 ），是假想的一条直线和垂直于该线的一个平面，相应的对称操作为围绕此直线旋转一定角度加对此平面的反映。除 = 外，其他 都可用简单对称要素或它们的组合代替，此不赘述。 2.晶体对称定律 晶体对称定律（law of crystal symmetry）是指晶体中可能出现的对称轴、旋转反伸轴和旋转反映轴的轴次只能是一次、二次、三次、四次和六次，或者说不可能存在五次及高于六次的对称轴、旋转反伸轴和旋转反映轴。 图4-10 各种旋转反伸轴及其与简单对称要素的关系 （据潘兆橹等，1993） 在晶体结构中，垂直对称轴一定有面网存在，在这样的面网上，结点分布所形成的网孔一定要符合与对称轴相适应的对称规律。围绕L2，L3，L4，L6所形成的网孔应分别为长方形、等边三角形、正方形和正六边形，这些多边形网孔应能毫无间隙地布满整个面网，从能量上看是稳定的（图4-11）；若存在L5和高于六次的对称轴，则围绕L5应形成正五边形网孔，围绕高于六次的轴将形成相应的正多边形网孔，如正七边形、正八边形等，而这些正多边形网孔都不能毫无间隙地布满整个面网，从能量上看是不稳定的（图4-11）。所以，在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。对于旋转反伸轴和旋转反映轴，其情况与此类似。 图4-11 晶体对称定律图解 图4-12 晶体对称定律的数学证明 晶体的对称定律还可以用数学方法加以证明： 对两个间距为平移单位t的结点A和A′（图4-12）进行旋转操作R和相应的逆操作R-1，使AA′旋转a角得到两个新的结点B和B′，BB′平行于AA′，BB′之间的距离t′必定是平移单位t的整数倍，即t′=mt，此处m为某一整数。从图中又可得到 t′=2tsin（a-90°）+t 即 t′=-2tcosa+t　　　（4-1） 将t′=mt代入（4-1）式： 得 cosa=（1-m）/2 即 -2≤（1-m）≤2　　　（4-2） 满足不等式（4-2）的m值为 m=-1，0，1，2，3 相应的a值为：a=0或2π，π/3，π/2，2π/3，π。 这就证明了轴次n只能为1，2，3，4，6。 3.对称要素的极射赤平投影 （1）对称面的投影 在球面投影时对称面与球面相交为大圆，故其极射赤平投影相当于球面大圆的投影。水平对称面投影为基圆；直立对称面投影为基圆的直径；倾斜对称面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。 （2）对称轴和旋转反伸轴的投影 相当于极射赤平投影中晶面法线的投影。直立的对称轴和旋转反伸轴投影在基圆中心；水平的对称轴和旋转反伸轴投影在基圆上；倾斜的对称轴和旋转反伸轴投影在基圆内。它们在极射赤平投影图上用表4-1中的特殊符号进行标记。 （3）对称心的投影 在基圆中心标出C即可。 图4-13是立方体的全部对称要素3L44L36L29PC及其极射赤平投影。立方体的9个对称面中，1个是水平的，投影为基圆；4个是直立的，投影为米字形的直径；另4个是倾斜的，投影为4个以直径为弦的大圆弧。对称轴中的4L3全是倾斜的，它们的投影都在基圆内；6L2中，2个是水平的，投影在基圆上，4个是倾斜的，投影在基圆内。 图4-13 立方体的全部对称要素3L44L36L29PC及其极射赤平投影
物理上一般用群论描述对称性。保有系统对称性的操作的集合构成群。由群的性质能衍生出部分系统的性质。最简单的，经典力学里就有的，系统的时间平移不变性带来能量守恒，空间平移不变性带来动量守恒等等。深入一点的话，在量子力学里，群即系统的对称性表示为在相似变换下保持哈密顿量不变的算符，由此可以给出系统能带的性质，包括简并性，由此可以简化计算；这方面最重要的应用就是分子能谱的计算，固体物理中的Bloch定理以及能带计算的简化，都是空间群的应用。我不懂化学，但我估计化学只是在上面说到的计算中应用群论。物理里群论还有更深入的应用。描述相对论粒子运动的Dirac方程几乎可以说是洛仑兹群的有限维群表示的结果。再深入到粒子物理的层面，标准模型的基础就是规范群（这个我不懂）。
群论，是数学概念。在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 扩展资料： 群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在18世纪30年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何学的贡献之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置换群、子群、商群和单群等。 参考资料来源：百度百科-抽象代数 参考资料来源：百度百科-群论
对称中心（C）的操作，是对一个点的反伸，又称作倒反。
晶体结构的基本性质： 自范性 晶体物质在适当的结晶条件下，都能自发地成长为单晶体，发育良好的单晶体均以平面作为它与周围物质的界面，而呈现出凸多面体。这一特征称之为晶体的自范性。 2.晶面角守恒定律 由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不尽相同那么，由晶体内在结构所决定的晶体外形的固有特征是什么呢？实验表明：对于一定类型的晶体来说，不论其外形如何，总存在一组特定的夹角，如石英晶体的m与m两面夹角为60°0′，m与R面之间的夹角为38°13′，m与r面的夹角为38°13′。对于其它品种晶体，晶面间则有另一组特征夹角。这一普遍规律称为晶面角守恒定律，即同一种晶体在相同的温度和压力下，其对应晶面之间的夹角恒定不变。 3.解理性 当晶体受到敲打、剪切、撞击等外界作用时，可有沿某一个或几个具有确定方位的晶面劈裂开来的性质。如固体云母（一种硅酸盐矿物）很容易沿自然层状结构平行的方向劈为薄片，晶体的这一性质称为解理性，这些劈裂面则称为解理面。自然界的晶体显露于外表的往往就是一些解理面。 4.各向异性 晶体的物理性质随观测方向而变化的现象称为各向异性。晶体的很多性质表现为各向异性，如压电性质、光学性质、磁学性质及热学性质等。例如：石墨的电导率，当我们沿晶体不同方向测其电导率时，得到方向不同而石墨的电导率数值也不同的结果。 5.对称性 晶体的宏观性质一般说来是各向异性的，但并不排斥晶体在某几个特定的方向可以是异向同性的。晶体的宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象称为晶体的对称性。晶体的对称性反映在晶体的几何外形和物理性质两个方面。实验表明，晶体的许多物理性质都与其几何外形的对称性相关。 晶体结构的对称因素： 在晶体的外形以及其他宏观表现中还反映了晶体结构的对称性。晶体的理想外形或其结构都是对称图象。这类图象都能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原。这样的操作称为对称操作，平移、旋转、反映和倒反都是对称操作。能使一个图象复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。在晶体结构中空间点阵所代表的是与平移有关的对称性，此外，还可以含有与旋转、反映和倒反有关并能在宏观上反映出来的对称性，称为宏观对称性，它在晶体结构中必须与空间点阵共存，并互相制约。制约的结果有二：①晶体结构中只能存在1、2、3、4和6次对称轴，②空间点阵只能有 14种形式。n次对称轴的基本旋转操作为旋转360°/n，因此，晶体能在外形和宏观中反映出来的轴对称性也只限于这些轴次。

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